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SOLUTIONS DES EXERCICES
f n+1 (x) =
+∞
−∞
f 1 (x − u) f n (u) du =
x
x−1
f n (u) du
=
n−1
k=0
(−1)
k
n
k
U (x, k), o` u U (x, k) =
x
x−1
((u − k)
+ )
n−1
(n − 1)!
du.
L’´ evaluation de cette int´ egrale donne :
x
x−1
((u − k)
+ )
n−1
(n − 1)!
du =

    
    
0,
si x ≤ k ;
(x − k)
n
n!
,
si x − 1 ≤ k < x ;
(x − k)
n
n!
−
(x − k − 1)
n
n!
, si k < x − 1.
Soit l l’unique entier positif d´ efini par : x − 1 ≤ l < x. Alors
f n+1 (x) =
n−1
k=0
(−1)
k
n
k
U (x, k) =
l
k=0
(−1)
k
n
k
U (x, k)
=
l−1
k=0
(−1)
k
n
k
(x − k)
n
n!
−
(x − k − 1)
n
n!
+ (−1)
l
n
l
(x − l)
n
n!
=
x
n
n!
+
l
k=1
(−1)
k
n
k
(x − k)
n
n!
+
l
k=1
(−1)
k
n
k − 1
(x − k)
n
n!
=
x
n
n!
+
l
k=1
(−1)
k
n + 1
k
(x − k)
n
n!
=
l
k=0
(−1)
k
n + 1
k
(x − k)
n
n!
=
n
k=0
(−1)
k
n + 1
k
((x − k)
+ )
n
n!
.
Chapitre 12
1. a) Comme P{X ∈ A, Y ∈ B} =
x∈A, y∈B
dµ(x, y), puis
E[Q (·) (A) · I {Y ∈B} ] =
R
Q y (A) · I {Y ∈B} (y) dP Y (y) =
y∈B
Q y (A) dP Y (y),
et aussi
Q y (A) =
I A (x) dQ y (x) =
x∈A
dQ y (x),
on peut r´ ecrire l’identit´ e initiale comme
x∈A, y∈B
dµ(x, y) =
y∈B
x∈A
dQ y (x)
dP Y (y).
b) Les conditions (1) et (2) sont banalement v´ erifi´ ees. Pour l’identit´ e (3) on
a : E[Q (·) (A) · I {Y ∈B} ] =
j∈J
Q y j (A) I {y j ∈B} P{Y = y j } =
j∈J
P{X ∈