CHAPITRE 11
303
c) La densit´ e de X 1 − X 2 est paire et donn´ ee par g(x) =
∞
−∞
f (u)f (x +
u) du. La fonction `
a int´ egrer est strictement positive sur D = {(u, x) :
0 < u < 1, 0 < x + u < 1} = {(u, x) : max(0, −x) < u < min(1, 1 − x)}.
De l` a, pour 0 ≤ x ≤ 1, on a g(x) =
1−x
0
du = 1−x et pour −1 ≤ x ≤ 0,
g(x) =
1
−x
du = 1 + x, et finalement g(u) =
1 − |x|, si |x| ≤ 1 ,
0,
sinon.
0
1
1
1
0
1
u
x
x
−1
−1
L’ensemble D
La densit´ e g
6. a) Utilisons les notations de l’exercice pr´ ec´ edent. Comme Y 1 + Y 2 = (X 1 +
X 2 ) − 1, la variable Y 1 + Y 2 a pour densit´ e g 2 (y) = f 2 (y + 1) = 1 − |y|,
si |y| ≤ 1, et 0 sinon.
b) La variable Y 1 + Y 2 + Y 3 = (X 1 + X 2 + X 3 ) −
3
2 a pour densit´ e
g 2 (y) = f 3 (y +
3
2 ) =

   
   
1
2 (y +
3
2 )
2 , si −
3
2 ≤ y ≤ −
1
2 ,
−y
2 +
3
4 ,
si −
1
2 ≤ y ≤
1
2 ,
1
2 (y −
3
2 )
2 , si
1
2 ≤ y ≤
3
2 ,
0,
ailleurs.
0
x
−
1
2
1
2
−
3
2
3
2
3
4
1
1
0
1
x
−
1
2
→
La densit´ e g 2
La densit´ e g 3
c) La variable Y 1 − Y 2 = X 1 − X 2 a la mˆ eme densit´ e que Y 1 + Y 2 . On
notera que le graphe de g 3 est le recollement de cinq tron¸ cons de courbes
diff´ erentes. Ce recollement est continˆ ument diff´ erentiable. On ne sera
pas surpris, au vu du graphe, que la loi de la somme Y 1 + · · · + Y n ,
convenablement norm´ ee, converge en loi vers la normale N (0, 1) (cf.
chap. 18).
7.
Pour 0 ≤ x ≤ 1 et n = 1 on retrouve : f 1 (x) = 1. Supposons n ≥ 1
et proc´ edons par r´ ecurrence sur n. D’abord pour 0 ≤ x ≤ n + 1 on a :