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SOLUTIONS DES EXERCICES
a donc : f 2 (x) =
x
0
du = x,
pour 0 ≤ x ≤ 1 ;
1
x−1
du = 1 − (x − 1) = 2 − x, pour 1 ≤ x ≤ 2.
D’o` u finalement f 2 (x) =
1 − |1 − x|, si 0 ≤ x ≤ 2,
0,
sinon.
1
0
2
1
1
2
0
1
u
x
x
L’ensemble D 2
La densit´ e f 2
b) La densit´ e de X 1 + X 2 + X 3 est donn´ ee par f 3 (x) = (f 2 ∗ f )(x) =
∞
−∞
f 2 (u)f (x − u) du. La fonction `
a int´ egrer est strictement positive
sur D 3 = {(u, x) : 0 < u < 2, 0 < x − u < 1} = {(u, x) :
max(0, x − 1) < u < min(2, x)}. Trois cas ` a consid´ erer : (1) pour
0 ≤ x ≤ 1, on a f 3 (x) =
x
0
u du = x
2 /2 ; (2) pour 1 ≤ x ≤ 2,
on a f 3 (x) =
x
x−1
f 2 (u)f (x − u) du =
1
x−1
u du +
x
1
(2 − u) du =
1
2 (1 − (x − 1)
2 ) + 2(x − 1) −
1
2 (x
2
− 1) = −(x −
3
2 )
2 +
3
4 ; (3) pour
2 ≤ x ≤ 3, on a : f 3 (x) =
2
x−1
(2 − u) du =
3−x
0
v dv =
1
2 (x − 3)
2 .
D’o` u finalement f 3 (x) =

  
  
x
2 /2,
pour 0 ≤ x ≤ 1 ;
−(x −
3
2 )
2 +
3
4 , pour 1 ≤ x ≤ 2 ;
(x − 3)
2 /2,
pour 2 ≤ x ≤ 3 ;
0,
ailleurs.
On constate, que contrairement `
a f 2 , la fonction f 3 est continˆ ument
d´ erivable.
1
2
0
2
3
1
u
x
1
2
3
0
x
3
2
1
2
3
4
→
L’ensemble D 3
La densit´ e f 3