CHAPITRE 11
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ailleurs positives et `
a esp´ erance math´ ematique finie. D’apr` es a) on en
tire : E[X]E[Y ] = (E[X
+ ] − E[X
− ])(E[Y
+ ] − E[Y
− ]) = E[X
+ Y
+ ] −
E[X
+ Y
− ]−E[X
− Y
+ ]+E[X
− Y
+ ] = E[(X
+
−X
− )(Y
+
−Y
− )] = E[XY ].
2.
Par d´ efinition de la densit´ e (voir la d´ efinition pr´ ec´ edant la Proposition 4.2), pour tout ensemble bor´ elien B, on a :
P{Y ∈ B} = P{h ◦ X ∈ B} = P X {h ∈ B} =
h −1 (B)
f X (x) dx =
S X ∩h −1 (B)
f X (x) dx. Si B ∩ h(S X ) = ∅, alors S X ∩ h
−1 (B) = ∅ et
donc P{Y ∈ B} = 0. Ainsi pour tout bor´ elien B on a : P{Y ∈ B} =
P{Y ∈ B ∩ h(S X )} ; ce qui prouve que le support de Y est contenu
dans h(S X ). Enfin, en appliquant la formule ci-dessus `
a B = {y}, on
obtient : π Y (y) = P{Y = y} =
h −1 ({y})
f X (x) dx.
3.
Pour la solution, voir la d´ emonstration du Th´ eor` eme 1.1 du chapitre 15
sur les changements de variables.
4.
Il suffit de faire la d´ emonstration pour E[X] < +∞. Il est clair que
f (x) ↓ 0, lorsque x → +∞ et que la fonction r(x) = P{X > x}
est, pour x ≥ 0, continˆ ument d´ erivable, strictement d´ ecroissante et
convexe. D’autre part, E[X] =
+∞
0
r(x) dx et M est l’unique nombre
v´ erifiant r(M ) = 1/2. C’est aussi l’aire du rectangle (OADE). Menons
en C la tangente au graphe de r(·) ; les triangles hachur´ es ont mˆ eme
aire. Il en r´ esulte que l’aire curviligne (ABC) est sup´ erieure ` a l’aire
curviligne (CDE). En ajoutant `
a chacune de ces aires curvilignes
l’aire curviligne (OACE), il vient E[X] = aire curviligne (OBE) >
aire du rectangle (OADE) = M .
r(x)
0
1
2
1 E
A
C
D
B x
M
5. a) La densit´ e commune aux trois variables al´ eatoires est f (x) = I [0,1] (x).
La densit´ e de X 1 + X 2 est le produit de convolution de f par ellemˆ eme : f 2 (x) = (f ∗ f )(x) =
∞
−∞
f (u)f (x − u) du. La fonction `
a
int´ egrer est strictement positive sur D 2 = {(u, x) : 0 < u < 1, 0 <
x − u < 1} = {(u, x) : max(0, x − 1) < u < min(1, x)}. On