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SOLUTIONS DES EXERCICES
de probabilit´ e P sur (Ω, T) telle que P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } =
p(x 1 ) . . . p(x n ). De plus, P{X n = x n } =
P{X 1 = x 1 , . . . , X n−1 =
x n−1 , X n = x n }, o` u la somme est sur l’ensemble de toutes les suites
(x 1 , . . . , x n−1 ) ∈ S
n−1 , soit P{X n = x n } =
p(x 1 ) . . . p(x n−1 )p(x n ),
somme calcul´ ee sur le mˆ eme ensemble. De l` a, P{X n = x n } =
p(x n )
1≤i≤n−1
x i ∈S p(x i )
= p(x n ).1 = p(x n ). Ainsi la condition (ii) du pr´ esent exercice est bien v´ erifi´ ee. La condition (i) l’est
aussi, puisque P{X 1 = x n , . . . , X n = x n } = p(x 1 ) . . . p(x n ) = P{X 1 =
x 1 } . . . P{X n = x n }.
8.
La fonction p 1 est donn´ ee et pour n ≥ 2 posons p n (x 1 , . . . , x n ) =
p 1 (x 1 )q 2 (x 1 , x 2 ) . . . q n (x 1 , . . . , x n ), quantit´ e qui est ´ egale ` a
2≤i≤n
P{X i = x i | X i−1 = x i−1 , . . . , X 1 = x 1 }P{X 1 = x 1 }, par cons´ equent `
a P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n }, si cette mesure de probabilit´ e P
existe. Or les trois conditions (i), (ii) et (iii) de l’exercice 3 sont
trivialement v´ erifi´ ees pour cette suite des (p n ) juste d´ efinie. Il existe
donc une et une seule mesure de probabilit´ e P sur (Ω, T) telle que
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n } = p 1 (x 1 )q 2 (x 1 , x 2 ) . . . q n (x 1 , . . . , x n ). Cette
loi convient, car d’abord P{X 1 = x 1 } = p 1 (x 1 ) par d´ efinition ; ensuite
P{X n = x n | X n−1 = x n−1 , . . . , X 1 = x 1 }
=
P{X 1 = x 1 , . . . , X n = x n }
P{X 1 = x 1 , . . . , X n−1 = x n−1 }
=
p 1 q 2 . . . q n
p 1 q 2 . . . q n−1
= q n .
9.
C’est un cas particulier (important) de l’exercice pr´ ec´ edent avec
q n (x 1 , . . . , x n ) = p x n−1 ,x n et p 1 (x) = p x .
Chapitre 11
1. a) Notons les variables X et Y au lieu de X 1 et X 2 et formons les
´ ev` enements A n,j = {(j − 1)/2
n
≤ X < j/2
n
} et B n,k = {(k − 1)/2
n
≤
X < k/2
n
} (j, k = 1, 2, . . . , n2
n ), ainsi que A n,n2 n +1 = {n ≤ X} et
B n,n2 n +1 = {n ≤ Y }. Puisque X et Y sont suppos´ es ˆ etre ind´ ependantes, chaque A n,j est ind´ ependant de chaque B n,k pour tout j, k =
1, 2, . . . , n2
n + 1. Formons les variables al´ eatoires simples positives
X n =
n2
n +1
j=1
((j − 1)/2
n ) I A n,j et Y n =
n2
n +1
k=1
((k − 1)/2
n ) I B n,k .
Pour tout couple (j, k) tel que 1 ≤ j, k ≤ n2
n + 1, on a P{X n =
(j−1)/2
n , Y n = (k−1)/2
n
} = P{X n = (j−1)/2
n
}P{Y n = (k−1)/2
n
} =
P(A n,j B n,k ) = P(A n,j )P(B n,k ) = P{X n = (j − 1)/2
n
}P{Y n =
(k − 1)/2
n
}. Ainsi X n et Y n sont ind´ ependantes, d’o` u E[X n Y n ] =
E[X n ]E[Y n ]. D’autre part, on a aussi XY = sup n X n Y n et comme
(X n Y n ) est une suite croissante de variables al´ eatoires simples positives, on conclut que E[XY ] = sup n E[X n Y n ] = sup n E[X n ]E[Y n ] =
E[X]E[Y ].
b) D’apr` es la Proposition 6.2 du chap. 6, les variables X
+ et X
− sont
ind´ ependantes des variables Y
+ et Y
− . Ces quatre variables sont par