CHAPITRE 10
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parcourt l’ensemble (fini) A. Par cons´ equent, toute tribu qui rend tous
les X n mesurables contient n´ ecessairement tous les cylindres, et donc
aussi la tribu T.
3.
Pour simplifier, notons la formule en question
A p n (x 1 , . . . , x n ).
Soit C = {π n ∈ A} = {π m ∈ B}. Il s’agit de d´ emontrer :
P{π n ∈ A} = P{π m ∈ B}. En effet, l’´ egalit´ e
A p n (x 1 , . . . , x n ) =
B p m (x 1 , . . . , x m ) entraˆ ıne A = B, lorsque n = m, car π n est surjectif.
Si m < n, alors {π n ∈ A} = {π m ∈ B} entraˆ ıne A = π n (π
−1
m (B)) = B ×
S
n−m . D’o` u
B p m (x 1 , . . . , x m ) =
B×S p m+1 (x 1 , . . . , x m , x m+1 ) =
· · · =
B×S n−m p n (x 1 , . . . , x m , . . . , x n ).
4.
Si l’on se fixe n, la suite π n (C m ) (m ≥ 1) est une suite d´ ecroissante de parties non vides de l’ensemble fini S
n . Il existe donc un
indice m(n) tel que π n (C k ) = π n (C m(n) ) pour tout k ≥ m(n). On
a donc :
m≥1 π n (C m ) = π n (C m(n) ) = ∅. L’ensemble π 1 (C m(1) ) est
non vide. Il contient donc un ´ el´ ement s 1 . Supposons d´ ej` a obtenue
la suite (s 1 , . . . , s n ) de S
n telle que pour tout k ≤ n la sous-suite
(s 1 , . . . , s k ) appartienne `
a π k (C m(k) ). En particulier, (s 1 , . . . , s n ) est
dans π n (C m(n) ), donc aussi dans π n (C m(n+1) ). On construit donc ainsi,
par r´ ecurrence, un ´ el´ ement ω = (s 1 , s 2 , . . . ) de Ω qui est tel que chaque
suite initiale (s 1 , s 2 , . . . , s n ) appartient `
a
m≥1 π n (C m ) pour tout n.
Prenons un entier m ≥ 1. Alors C m est un l-cylindre pour un certain
entier l. Il en r´ esulte que la suite (s 1 , s 2 , . . . , s l ) appartient `
a π l (C m ).
La suite infinie ω est donc dans C m . Comme ceci est vrai quel que soit
m, il en r´ esulte que l’intersection
m C m est non vide.
5.
D’abord P est ´ evidemment positive, puisque les p n le sont. Ensuite,
en prenant Ω = {π 1 ∈ S}, on a : P(Ω) =
x∈S p 1 (x) = 1. Soient
maintenant deux ´ el´ ements C, D de l’alg` ebre A tels que C ∩ D = ∅.
Il existe alors un entier n tel que A ⊂ S
n , B ⊂ S
n et C = π
−1
n (A),
D = π
−1
n (B). De l` a, π
−1
n (A ∪ B) = π
−1
n (A) ∪ π
−1
n (B) = C ∪ D et
∅ = π n (C ∩ D) = π n (π
−1
n (A) ∩ π
−1
n (B)) = π n π
−1
n (A ∩ B) = A ∩ B.
On en tire P(C ∪ D) =
A∪B p n (x 1 , . . . , x n ) =
A p n (x 1 , . . . , x n ) +
B p n (x 1 , . . . , x n ) = P(C) + P(D). L’additivit´ e de P est bien v´ erifi´ ee.
Pour d´ emontrer la σ-additivit´ e de P, on fait appel `
a l’exercice pr´ ec´ edent.
Si (C m ) est une suite d´ ecroissante de cylindres tendant vers ∅, alors il
existe un entier m tel que C m = ∅. Par cons´ equent, C m = C m+1 =
· · · = ∅. D’o` u lim k P(C k ) = 0, ce qui ´ etablit bien la σ-additivit´ e.
6.
En effet, toutes les conditions du th´ eor` eme de prolongement d’une
mesure de probabilit´ e sur une alg` ebre sont r´ ealis´ ees. On peut donc
prolonger la mesure `
a toute la tribu engendr´ ee.
7.
Prenons pour p n la fonction p n (x 1 , . . . , x n ) = p(x 1 ) . . . p(x n ). Les conditions (i), (ii) et (iii) de l’exercice 3 sont trivialement v´ erifi´ ees. Le
r´ esultat de l’exercice 6 affirme qu’il existe une et une seule mesure