298
SOLUTIONS DES EXERCICES
19. a) On doit avoir 1 = k
n≥1
θ
n
n
= k Log
1
1 − θ
, d’o` u k = −
1
Log(1 − θ)
.
b) Pour −1/θ < u < 1/θ on a : G X (u) = k
n≥1
(θu)
n
n
=
Log(1 − θu)
Log(1 − θ)
.
c) Comme θ ∈]0, 1[, la fonction G X est d´ efinie dans un voisinage autour
du point 1. Comme G
X (u) = kθ/(1 − θu) et G
X (u) = kθ
2 /(1 − θu)
2 ,
on a par la Proposition 2.4 : E[X] = G
X (1) = kθ/(1 − θ) et Var X =
G
X (1) + G
X (1) −
G
X (1)
2 = kθ(1 − kθ)/(1 − θ)
2 .
20.
D´ esignons par C 1 , . . . , C N les champignons cueillis et notons {C k =
c} l’´ ev` enement consistant en le fait que le k
i` eme champignon cueilli
est comestible. La probabilit´ e pour que tous les champignons soient
comestibles est :
P{C 1 = c, . . . , C N = c} =
n≥1
P{N = n}P{C 1 = c, . . . , C n = c | N = n}.
En supposant les ´ ev` enements {C 1 , = c}, {C 2 = c}, . . . ind´ ependants
entre eux et ind´ ependants de N , on obtient : P{C 1 = c, . . . , C N = c} =
n≥1
P{N = n}
P{C 1 = c}
n =
n≥1
P{N = n}p
n = G(p).
Chapitre 10
1. a) L’ensemble A n n’est autre que la tribu engendr´ ee par π n , c’est-` a-dire
l’image r´ eciproque π
−1
n (P(S
n )). C’est donc une tribu.
b) Pour A ⊂ S
n , on a π
−1
n (A) = π
−1
n+1 (A × S).
c) L’ensemble fondamental Ω appartient `
a A 1 , donc `
a A. Si C appartient
` a A, il appartient `
a A n pour un certain n ≥ 1 ; le compl´ ementaire C
c
appartient aussi `
a A n , donc aussi `
a A. Enfin, si C et D sont des ´ el´ ements
de A, on peut supposer que C est un n-cylindre et D un m-cylindre
et que n ≤ m. Comme la suite (A n ) est croissante, les deux cylindres
C et D appartiennent `
a A m , ainsi que leur r´ eunion, puisque A m est
une tribu. Par suite, la r´ eunion appartient `
a A. Les axiomes sur les
propri´ et´ es d’une alg` ebre sont donc v´ erifi´ es. En revanche, A n’est pas
une tribu. Prenons, en effet, un ´ el´ ement fix´ e (x 1 , x 2 , . . . ) de Ω. Pour
tout n ≥ 1, l’ensemble C n = {π n = (x 1 , x 2 , . . . , x n )} est un n-cylindre.
Or l’intersection
n≥1 C n est simplement le singleton {ω} qui, lui, n’est
pas un n-cylindre, quel que soit n.
2.
D’abord A n est la tribu engendr´ ee par π n . C’est donc la plus petite
tribu rendant π n mesurable. Toute tribu rendant tous les π n mesurables
doit donc contenir la r´ eunion des A n , c’est-` a-dire A, et par cons´ equent
aussi T = T(A). Chaque X n est mesurable, car pour tout T ⊂ S,
l’ensemble X
−1
n (T ), qu’on peut ´ ecrire π
−1
n (S
n−1
× T ), appartient `
a
A n et donc aussi ` a T. Enfin, tout cylindre C = {π n ∈ A} peut
s’exprimer comme la r´ eunion de tous les ´ ev` enements de la forme
{X 1 = x 1 } ∩ {X 2 = x 2 } ∩ · · · ∩ {X n = x n }, o` u la suite (x 1 , x 2 , . . . , x n )
SOLUTIONS DES EXERCICES
19. a) On doit avoir 1 = k
n≥1
θ
n
n
= k Log
1
1 − θ
, d’o` u k = −
1
Log(1 − θ)
.
b) Pour −1/θ < u < 1/θ on a : G X (u) = k
n≥1
(θu)
n
n
=
Log(1 − θu)
Log(1 − θ)
.
c) Comme θ ∈]0, 1[, la fonction G X est d´ efinie dans un voisinage autour
du point 1. Comme G
X (u) = kθ/(1 − θu) et G
X (u) = kθ
2 /(1 − θu)
2 ,
on a par la Proposition 2.4 : E[X] = G
X (1) = kθ/(1 − θ) et Var X =
G
X (1) + G
X (1) −
G
X (1)
2 = kθ(1 − kθ)/(1 − θ)
2 .
20.
D´ esignons par C 1 , . . . , C N les champignons cueillis et notons {C k =
c} l’´ ev` enement consistant en le fait que le k
i` eme champignon cueilli
est comestible. La probabilit´ e pour que tous les champignons soient
comestibles est :
P{C 1 = c, . . . , C N = c} =
n≥1
P{N = n}P{C 1 = c, . . . , C n = c | N = n}.
En supposant les ´ ev` enements {C 1 , = c}, {C 2 = c}, . . . ind´ ependants
entre eux et ind´ ependants de N , on obtient : P{C 1 = c, . . . , C N = c} =
n≥1
P{N = n}
P{C 1 = c}
n =
n≥1
P{N = n}p
n = G(p).
Chapitre 10
1. a) L’ensemble A n n’est autre que la tribu engendr´ ee par π n , c’est-` a-dire
l’image r´ eciproque π
−1
n (P(S
n )). C’est donc une tribu.
b) Pour A ⊂ S
n , on a π
−1
n (A) = π
−1
n+1 (A × S).
c) L’ensemble fondamental Ω appartient `
a A 1 , donc `
a A. Si C appartient
` a A, il appartient `
a A n pour un certain n ≥ 1 ; le compl´ ementaire C
c
appartient aussi `
a A n , donc aussi `
a A. Enfin, si C et D sont des ´ el´ ements
de A, on peut supposer que C est un n-cylindre et D un m-cylindre
et que n ≤ m. Comme la suite (A n ) est croissante, les deux cylindres
C et D appartiennent `
a A m , ainsi que leur r´ eunion, puisque A m est
une tribu. Par suite, la r´ eunion appartient `
a A. Les axiomes sur les
propri´ et´ es d’une alg` ebre sont donc v´ erifi´ es. En revanche, A n’est pas
une tribu. Prenons, en effet, un ´ el´ ement fix´ e (x 1 , x 2 , . . . ) de Ω. Pour
tout n ≥ 1, l’ensemble C n = {π n = (x 1 , x 2 , . . . , x n )} est un n-cylindre.
Or l’intersection
n≥1 C n est simplement le singleton {ω} qui, lui, n’est
pas un n-cylindre, quel que soit n.
2.
D’abord A n est la tribu engendr´ ee par π n . C’est donc la plus petite
tribu rendant π n mesurable. Toute tribu rendant tous les π n mesurables
doit donc contenir la r´ eunion des A n , c’est-` a-dire A, et par cons´ equent
aussi T = T(A). Chaque X n est mesurable, car pour tout T ⊂ S,
l’ensemble X
−1
n (T ), qu’on peut ´ ecrire π
−1
n (S
n−1
× T ), appartient `
a
A n et donc aussi ` a T. Enfin, tout cylindre C = {π n ∈ A} peut
s’exprimer comme la r´ eunion de tous les ´ ev` enements de la forme
{X 1 = x 1 } ∩ {X 2 = x 2 } ∩ · · · ∩ {X n = x n }, o` u la suite (x 1 , x 2 , . . . , x n )