CHAPITRE 9
295
17.
D’abord I A et I B sont ind´ ependantes ssi pour tout ε = 0 ou 1 et
tout ε
= 0 ou 1 on a P{I A = ε, I B = ε
} = P{I A = ε}P{I B = ε
}.
Cette condition est ´ equivalente `
a P(AB) = P(A)P(B) (car les trois
autres relations ´ ecrites avec A
c et B
c en d´ ecoulent). Comme enfin
E[I A ] = P(A), E[I B ] = P(B), E[I A I B ] = P(AB), cette condition est
´ equivalente `
a E[I A I B ] = E[I A ]E[I B ].
18.
On peut, sans nuire `
a la g´ en´ eralit´ e, supposer X et Y centr´ ees ; alors
X + Y et X − Y le sont aussi et l’on a : Cov(X + Y, X − Y ) =
E[(X +Y )(X −Y )] = E[X
2
−Y
2 ] = E[X
2 ]−E[Y
2 ] = Var X −Var Y = 0.
[Si (X, Y ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, normales,
centr´ ees, r´ eduites, le couple (X + Y, X − Y ) n’est pas seulement non
corr´ el´ e, mais encore ind´ ependant.]
Chapitre 9
1.
(ps + q)
n ; exp(λ(s − 1)) ; ps(1 − qs)
−1 .
2.
La fonction g´ en´ eratrice de X vaut G X (u) =
pu
1 − qu
(u = p/q). Puisque
q est dans l’intervalle ]0, 1[, l’intervalle ouvert sur lequel G X est d´ efinie
contient le point u = 1. D’apr` es la Proposition 2.5, tous les moments
factoriels de X existent ; le moment factoriel d’ordre r est ´ egal au
coefficient de v
r /r! dans le d´ eveloppement de G X (1 + v) au voisinage
de v = 0. Or G X (u) = −
p
q
+
p
q
1
1 − qu
et G X (1 + v) = −
1
q
+
1
q
1
1 −
q
p
v
.
Pour −p/q < v < p/q on a le d´ eveloppement
G X (1 + v) = 1 +
r≥1
1
q
q
p
r
r! .
v
n
r!
. D’o` u, pour tout r ≥ 1,
E[X(X − 1) · · · (X − r + 1)] =
1
q
q
p
r
r! Lorsque p = q =
1
2 , ce dernier
moment factoriel vaut 2 r!
On peut ´ egalement trouver l’expression de la r
i` eme d´ eriv´ ee de G X et
appliquer la Proposition 2.4.
5. b) Exprimant chaque coefficient binomial en fonction des factorielles montantes, on obtient :
G H (s) =
1
(−N ) n
k
(−M ) k (−n) k (−1)
k (−N + M ) n−k
s
k
k!
.
Pour n ≤ N −M on a (−N +M ) n = (−N +M ) n−k (−1)
k (N −M −n+1) k
et on obtient l’expression demand´ ee. Pour n ≥ N − M + 1, on prend
l’indice de sommation l = k − (n − (N − M )) qui varie dans l’intervalle
[0, min{(N − M ), (N − n)}]. Remarquer que l’on a :
(n − N + M + 1) N −M
(M + 1) N −M
=
(n − N + M + 1) N −n
(n + 1) N −n
.
d) Utiliser l’identit´ e de Chu-Vandermonde.
6.
s
b G(s) ; G(s
a ).
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17.
D’abord I A et I B sont ind´ ependantes ssi pour tout ε = 0 ou 1 et
tout ε
= 0 ou 1 on a P{I A = ε, I B = ε
} = P{I A = ε}P{I B = ε
}.
Cette condition est ´ equivalente `
a P(AB) = P(A)P(B) (car les trois
autres relations ´ ecrites avec A
c et B
c en d´ ecoulent). Comme enfin
E[I A ] = P(A), E[I B ] = P(B), E[I A I B ] = P(AB), cette condition est
´ equivalente `
a E[I A I B ] = E[I A ]E[I B ].
18.
On peut, sans nuire `
a la g´ en´ eralit´ e, supposer X et Y centr´ ees ; alors
X + Y et X − Y le sont aussi et l’on a : Cov(X + Y, X − Y ) =
E[(X +Y )(X −Y )] = E[X
2
−Y
2 ] = E[X
2 ]−E[Y
2 ] = Var X −Var Y = 0.
[Si (X, Y ) est un couple de variables al´ eatoires ind´ ependantes, normales,
centr´ ees, r´ eduites, le couple (X + Y, X − Y ) n’est pas seulement non
corr´ el´ e, mais encore ind´ ependant.]
Chapitre 9
1.
(ps + q)
n ; exp(λ(s − 1)) ; ps(1 − qs)
−1 .
2.
La fonction g´ en´ eratrice de X vaut G X (u) =
pu
1 − qu
(u = p/q). Puisque
q est dans l’intervalle ]0, 1[, l’intervalle ouvert sur lequel G X est d´ efinie
contient le point u = 1. D’apr` es la Proposition 2.5, tous les moments
factoriels de X existent ; le moment factoriel d’ordre r est ´ egal au
coefficient de v
r /r! dans le d´ eveloppement de G X (1 + v) au voisinage
de v = 0. Or G X (u) = −
p
q
+
p
q
1
1 − qu
et G X (1 + v) = −
1
q
+
1
q
1
1 −
q
p
v
.
Pour −p/q < v < p/q on a le d´ eveloppement
G X (1 + v) = 1 +
r≥1
1
q
q
p
r
r! .
v
n
r!
. D’o` u, pour tout r ≥ 1,
E[X(X − 1) · · · (X − r + 1)] =
1
q
q
p
r
r! Lorsque p = q =
1
2 , ce dernier
moment factoriel vaut 2 r!
On peut ´ egalement trouver l’expression de la r
i` eme d´ eriv´ ee de G X et
appliquer la Proposition 2.4.
5. b) Exprimant chaque coefficient binomial en fonction des factorielles montantes, on obtient :
G H (s) =
1
(−N ) n
k
(−M ) k (−n) k (−1)
k (−N + M ) n−k
s
k
k!
.
Pour n ≤ N −M on a (−N +M ) n = (−N +M ) n−k (−1)
k (N −M −n+1) k
et on obtient l’expression demand´ ee. Pour n ≥ N − M + 1, on prend
l’indice de sommation l = k − (n − (N − M )) qui varie dans l’intervalle
[0, min{(N − M ), (N − n)}]. Remarquer que l’on a :
(n − N + M + 1) N −M
(M + 1) N −M
=
(n − N + M + 1) N −n
(n + 1) N −n
.
d) Utiliser l’identit´ e de Chu-Vandermonde.
6.
s
b G(s) ; G(s
a ).