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SOLUTIONS DES EXERCICES
7. a) G(s)/(1 − s) ; b) sG(s)/(1 − s) ; c) (1 − sG(s))/(1 − s) ;
d) P{X = 0}/s + (1 − G(s)/s)/(1 − s) ; e) (G(s
1/2 ) + G(−s
1/2 ))/2.
8. a) P{T 1 = m} =
1
3
m−1 2
3
(m ≥ 1) ; G T 1 (s) = 2s/((3 − s) ;
E[T 1 ] =
3
2 ; VarT 1 =
3
4 .
b)
1
2
n−m−1 1
3
m .
c) P{T 2 = n} = 2[
1
2
n−1 −
1
3
n−1 ] (n ≥ 2) ;
G T 2 (s) = 2s
2 /(6 − 5s + s
2 ) ; E[T 2 ] = 7/2 ; Var T 2 = 11/4.
d) P{X n = 0} = P{T 1 = n} + P{T 2 = n} = 4
1
2
n −
1
3
n
(n ≥ 1), ce
qui d´ etermine la loi de X n , puisque cette loi est de Bernoulli.
9.
Utiliser la Proposition 3.2.
10. a) R´ esulte de la Proposition 3.2.
c) On a x n+1 = G(x n ) pour n ≥ 1 et G est continue.
d) Noter que G
(1) = µ. e) Consid´ erer les cas µ ≤ 1 et µ ≥ 1.
f) E[X n ] = µ
n (n ≥ 2) ; Var X n = σ
2 µ
n−1 (1 − µ
n )/(1 − µ) (n ≥ 1).
g) G n (s) = 1 − p
n + p
n s.
11.
t n = 1 −
1 −
1
2 n
a ; H(s) =
a
j=1
a
j
(1 −
s
2 j )
−1 ; E[T ] = H(1) =
a
j=1
a
j
(−1)
j−1 (1 −
1
2 j )
−1 .
12. a) On a U (s) =
P (s)
(s − s 1 ) r 1 . . . (s − s m ) r m =
1≤i≤m
1≤j≤r i
a ij
(s − s i ) j . (1)
En multipliant par (s − s 1 )
r 1 , puis en faisant s = s 1 , il vient a 1,r 1 =
P (s 1 )
(s 1 − s 2 ) r 2 . . . (s 1 − s m ) r m . Or Q(s) = (s − s 1 )
r 1 . . . (s − s m )
r m et
Q
(r 1 ) (s 1 ) = r 1 ! (s 1 − s 2 )
r 2 . . . (s 1 − s m )
r m , d’o` u a 1,r 1 = r 1 !
P (s 1 )
Q (r 1 ) (s 1 )
.
On obtient une formule analogue pour chaque a i,r i .
b) Pour |s| < |s i | la formule du binˆ ome donne :
1
(s − s i ) j = (−1)
j s
−j
i
1 −
s
s i
−j
= (−1)
j s
−j
i
n≥0
s
s i
n (j) n
n!
.
(2)
En substituant dans (1) on obtient la formule demand´ ee.
c) Soit |s 1 | < |s i | pour i = 2, . . . , m, la racine s 1 , ´ etant simple, est
n´ ecessairement r´ eelle. On voit sans peine que le terme pr´ epond´ erant
dans le membre de droite de (2) est celui correspondant `
a i = 1, j = r 1 .
(On remarquera que si 1 ≤ j < r, alors (j) n = o((r) n ) lorsque n tend
vers l’infini.)
d) Supposons que le degr´ e de P soit m + r (r ≥ 0). Une division permet de
repr´ esenter U (s) comme somme d’un polynˆ ome de degr´ e r et d’une
fraction rationnelle P 1 (s)/Q(s), o` u le degr´ e de P 1 est strictement
inf´ erieur au degr´ e de Q. Le polynˆ ome n’affecte que les r + 1 premiers
termes de la suite (u n ) et la fraction rationnelle P 1 (s)/Q(s) peut
ˆ etre d´ ecompos´ ee en ´ el´ ements simples comme pr´ ec´ edemment. Ainsi le
r´ esultat de c) subsiste.
SOLUTIONS DES EXERCICES
7. a) G(s)/(1 − s) ; b) sG(s)/(1 − s) ; c) (1 − sG(s))/(1 − s) ;
d) P{X = 0}/s + (1 − G(s)/s)/(1 − s) ; e) (G(s
1/2 ) + G(−s
1/2 ))/2.
8. a) P{T 1 = m} =
1
3
m−1 2
3
(m ≥ 1) ; G T 1 (s) = 2s/((3 − s) ;
E[T 1 ] =
3
2 ; VarT 1 =
3
4 .
b)
1
2
n−m−1 1
3
m .
c) P{T 2 = n} = 2[
1
2
n−1 −
1
3
n−1 ] (n ≥ 2) ;
G T 2 (s) = 2s
2 /(6 − 5s + s
2 ) ; E[T 2 ] = 7/2 ; Var T 2 = 11/4.
d) P{X n = 0} = P{T 1 = n} + P{T 2 = n} = 4
1
2
n −
1
3
n
(n ≥ 1), ce
qui d´ etermine la loi de X n , puisque cette loi est de Bernoulli.
9.
Utiliser la Proposition 3.2.
10. a) R´ esulte de la Proposition 3.2.
c) On a x n+1 = G(x n ) pour n ≥ 1 et G est continue.
d) Noter que G
(1) = µ. e) Consid´ erer les cas µ ≤ 1 et µ ≥ 1.
f) E[X n ] = µ
n (n ≥ 2) ; Var X n = σ
2 µ
n−1 (1 − µ
n )/(1 − µ) (n ≥ 1).
g) G n (s) = 1 − p
n + p
n s.
11.
t n = 1 −
1 −
1
2 n
a ; H(s) =
a
j=1
a
j
(1 −
s
2 j )
−1 ; E[T ] = H(1) =
a
j=1
a
j
(−1)
j−1 (1 −
1
2 j )
−1 .
12. a) On a U (s) =
P (s)
(s − s 1 ) r 1 . . . (s − s m ) r m =
1≤i≤m
1≤j≤r i
a ij
(s − s i ) j . (1)
En multipliant par (s − s 1 )
r 1 , puis en faisant s = s 1 , il vient a 1,r 1 =
P (s 1 )
(s 1 − s 2 ) r 2 . . . (s 1 − s m ) r m . Or Q(s) = (s − s 1 )
r 1 . . . (s − s m )
r m et
Q
(r 1 ) (s 1 ) = r 1 ! (s 1 − s 2 )
r 2 . . . (s 1 − s m )
r m , d’o` u a 1,r 1 = r 1 !
P (s 1 )
Q (r 1 ) (s 1 )
.
On obtient une formule analogue pour chaque a i,r i .
b) Pour |s| < |s i | la formule du binˆ ome donne :
1
(s − s i ) j = (−1)
j s
−j
i
1 −
s
s i
−j
= (−1)
j s
−j
i
n≥0
s
s i
n (j) n
n!
.
(2)
En substituant dans (1) on obtient la formule demand´ ee.
c) Soit |s 1 | < |s i | pour i = 2, . . . , m, la racine s 1 , ´ etant simple, est
n´ ecessairement r´ eelle. On voit sans peine que le terme pr´ epond´ erant
dans le membre de droite de (2) est celui correspondant `
a i = 1, j = r 1 .
(On remarquera que si 1 ≤ j < r, alors (j) n = o((r) n ) lorsque n tend
vers l’infini.)
d) Supposons que le degr´ e de P soit m + r (r ≥ 0). Une division permet de
repr´ esenter U (s) comme somme d’un polynˆ ome de degr´ e r et d’une
fraction rationnelle P 1 (s)/Q(s), o` u le degr´ e de P 1 est strictement
inf´ erieur au degr´ e de Q. Le polynˆ ome n’affecte que les r + 1 premiers
termes de la suite (u n ) et la fraction rationnelle P 1 (s)/Q(s) peut
ˆ etre d´ ecompos´ ee en ´ el´ ements simples comme pr´ ec´ edemment. Ainsi le
r´ esultat de c) subsiste.