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SOLUTIONS DES EXERCICES
c) P{S n ≥ 11} = P{S n − 1 ≥ 10} = P{S n − E[S n ] ≥ 10}
≤ P{ |S n − E[S n ]| ≥ 10} ≤
Var S n
10 2 =
1
10 2 .
10. a) X+Z = 1−Y , d’o` u Var(X+Z) = Var X+Var Z+2 Cov(X, Z) = Var Y ,
2 Cov(Z, X) = Var X − (Var Z − Var Y ) ≤ 0. Mˆ eme calcul pour
Cov(Y, Z).
b) X+Y = 1−Z, d’o` u Var(X+Y ) = Var X+Var Y +2 Cov(X, Y ) = Var Z
et 2 Cov(X, Y ) = Var Z − (Var X + Var Y ).
c) 2 Cov(X, Z) = −[(Var Z − Var Y ) + Var X] ≤ 0 ;
2 Cov(Y, Z) = −[(Var Z − Var X) + Var Y ] ≤ 0 :
2 |Cov(X, Z)| = Var Z − (Var Y − Var X) ≤ Var Z :
2 |Cov(Y, Z)| = Var Z + (Var Y − Var X) ≥ Var Z ;
d’o` u |Cov(X, Z)| ≤ |Cov(Y, Z)|.
11.
{10 − n < X < 10 + n} = {|X − 10| /5 < n/5}. Soit n tel que
−0, 99 ≤ P{ |X − 10| /5 < n/5}, c’est-` a-dire tel que
P{ |X − 10| /5 ≥ n/5} ≤ 0, 01.
Or d’apr` es l’in´ egalit´ e de Tchebychev :
P { |X − 10| /5 ≥ 5 } ≤ 1/(n/5)
2 = 25/n
2 .
L’avant-derni` ere in´ egalit´ e est donc v´ erifi´ ee d` es que 25/n
2
≤ 0, 01, soit
n ≥ 50.
12.
Pour tout t > 0, on a, d’apr` es l’in´ egalit´ e de Markov
P{ |X| ≥ t} ≤
E[ |X| ]
t
= 0.
Or { |X| > 0 } =
n≥1 { |X| ≥ 1/n }, d’o` u
P{ |X| > 0} ≤
n≥1
P
|X| ≥
1
n
= 0.
14.
D’apr` es les in´ egalit´ es sur les moyennes, on a : (E[1/X])
−1
≤ E[X].
15.
Soit P X =
k α k ε x k la loi de X. On a, pour tout n ≥ 1
|x k |≥n
|x k |
r α k ≥ n
r P{ |X| ≥ n}.
Or, si E[|X|
r ] ≤ +∞, alors lim n
|x k |≥n |x k |
r α k → 0.
16.
La covariance ´ etant invariante par changement d’origine, il suffit de
supposer que X 1 , X 2 , Y 1 , Y 2 sont centr´ ees ; on a alors :
Cov(X 1 + Y 1 , X 2 + Y 2 ) = E[(X 1 + Y 1 )(X 2 + Y 2 )] = E[X 1 X 2 ] +E[X 1 Y 2 ] +
E[Y 1 X 2 ] + E[Y 1 Y 2 ] = E[X 1 X 2 ] + E[X 1 ]E[Y 2 ] + E[Y 1 ]E[X 2 ] + E[Y 1 Y 2 ] =
Cov(X 1 , X 2 ) + Cov(Y 1 , Y 2 ).