CHAPITRE 8
293
1
2
N ∞
i=0
(N +1) i
i!
1
2
i =
1
2
N (1 −
1
2 )
−(N +1) = 2. Il suffit de d´ emontrer
1
2
N ∞
i=N +1
(N +1) i
i!
1
2
i = 1. Le membre de gauche se r´ ecrit
1
2
2N +1 (N +1) N +1
(N +1)! 2 F 1
2N +2,1
N +2 ;
1
2
, qui vaut, d’apr` es l’identit´ e de Gauss,
1
2
2N +1 (N + 1) N +1
(N + 1)!
Γ
1
2
Γ
1
2 + N + 1 +
1
2
Γ
1
2 + N + 1
Γ
1
2 +
1
2
= 1.
Chapitre 8
1.
Loi
Esp´ erance Variance
B(n, p)
np
npq
π λ
λ
λ
On constate que pour la loi de Poisson, l’esp´ erance math´ ematique et la
variance sont ´ egales toutes les deux au param` etre.
2.
Le nombre d’essais suit la loi uniforme, d’o` u son esp´ erance (n + 1)/2.
3. b) P{L = n} = p
n q + q
n p (n ≥ 1) d’o` u E[L] = 2 + (p − q)
2 /(pq) ≥ 2 et
Var L = 2 + (1 + pq)(p − q)
2 /(p
2 q
2 ) ≥ 2. Pour d´ eterminer la loi de M ,
on la consid` ere comme loi marginale du couple (L, M ) :
P{L = l, M = n} = p
l q
n p + q
l p
n q
(l, n ≥ 1) ;
P{M = n} =
l≥1
P{L = l, M = n} = q
n−1 p
2 + p
n−1 q
2
(n ≥ 1).
d’o` u E[M ] = 2 (ind´ ependant de p) et Var M = 2 + 2(p − q)
2 /(pq) ≥ 2.
c) d) calculs sans difficult´ es. e) E[T ] = q/p.
f) utiliser les relations : k
r
k
= r
r−1
k−1
et
r+k−1
k
= (−1)
k
−r
k
.
4.
Le nombre d’essais suit une loi g´ eom´ etrique de param` etre p = 1/n, d’o` u
son esp´ erance math´ ematique 1/p = n.
9. a) On prend pour Ω l’ensemble des permutations des n chapeaux et pour
P l’´ equir´ epartition sur Ω.
b) Soit A k l’´ ev` enement la k
i` eme personne r´ ecup` ere son chapeau . On a :
P(A k ) = (n − 1)!/n! = 1/n pour tout k = 1, . . . , n, puis P(A k ∩ A l ) =
(n − 2)!/n! = 1/(n(n − 1)) pour 1 ≤ k < l ≤ n, enfin E[X k ] = P(A k ) =
1/n et E[X k X l ] = P(A k A l ) = 1/(n(n − 1)), d’o` u
E[S n ] = E[X 1 ] + · · · + E[X n ] = 1 ;
E[S
2
n ] =
n
k=1
E[X
2
k ] + 2
k E[X k X l ] = n
1
n
+ n(n − 1)
1
n(n − 1)
= 2.
Var S n = E[S
2
n ] − (E[S n ])
2 = 1,
toutes ces quantit´ es ´ etant ind´ ependantes de n.