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SOLUTIONS DES EXERCICES
3) Exprimons l’´ ev` enement {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } en fonction des ε k :
{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } = {τ 1 = t 1 , τ 2 = t 2 − t 1 , . . . , τ n = t n − t n−1 },
d’o` u, en posant t 0 = 0, P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } =
n
k=1
q
t k −t k−1 −1 p =
p
n q
(t 1 −t 0 −1)+···+(t n −t n−1 −1) = p
n q
t n −n , si 0 < t 1 < · · · < t n , et 0 sinon.
4) D’abord, P(A) = P{N m = n} = P{
m
k=1
ε k = n} =
m
n
p
n q
m−n . Or
B ∩ A = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n , N m = n} = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n ,
T n+1 > m}, d’o` u P(B ∩ A) =
k≥m+1
P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n , T n+1 = k},
une expression qui est nulle lorsque l’une au moins des in´ egalit´ es 0 <
t 1 < · · · < t n ≤ m n’est pas v´ erifi´ ee, et qui lorsque toutes ces in´ egalit´ es
sont v´ erifi´ ees, vaut
k≥m+1
p
n+1 q
k−n−1 =
p
n+1
q n+1
q
m+1
1 − q
= p
n q
m−n . Ainsi
P(B | A) =
P(B ∩ A)
P(A)
=
1
m
n
, si 0 < t 1 < · · · < t n ≤ m ;
0,
sinon.
5) a) On commence par d´ eterminer la loi conjointe de (U n , V n ) ; `
a cet effet,
on exprime l’´ ev` enement {U n = i, V n = j} en fonction des ε k . Pour
0 ≤ i ≤ n − 1 et j ≥ 1 on a {U n = i, V n = j} = {ε n−i = 1, ε n−i+1 =
· · · = ε n = 0 ; ε n+1 = · · · = ε n+j−1 = 0, ε n+j = 1} et pour i = n et
j ≥ 1 on trouve {U n = n, V n = j} = {ε 1 = · · · = ε n = 0 ; ε n+1 = · · · =
ε n+j−1 = 0, ε n+j = 1}. La loi conjointe de (U n , V n ) est donn´ ee pour
0 ≤ i ≤ n − 1, j ≥ 1 par P{U n = i, V n = j} = p
2 q
i+j−1 = (pq
i )(pq
j−1 )
et P{U n = n, V n = j} = q
n pq
j−1 . On en d´ eduit les lois marginales
P{U n = i} =
j≥1
P{U n = i, V n = j} =
pq
i , si 0 ≤ i ≤ n − 1 ;
q
n , si i = n ;
P{V n = j} =
n
i=0
P{U n = i, V n = j} = pq
j−1
(j ≥ 1).
La loi conjointe est bien le produit des lois marginales. Les variables
al´ eatoires U n , V n sont donc ind´ ependantes. On remarquera, en outre,
que U n a mˆ eme loi que inf(τ 1 − 1, n) et que V n a mˆ eme loi que τ 1 (qui
est ind´ ependante de n).
b) Il r´ esulte de la remarque de 5a) que U n converge en loi vers τ 1 − 1,
c’est-` a-dire comme on peut le voir directement, lim
n→∞
P{U n = i} = pq
i
(i = 0, 1, . . . ).
11.
Posons G =
N
r=0
2N −r
N
1
2
2N −r . Alors, avec N − r = i, on a G =
1
2
N N
i=0
(N +1) i
i!
1
2
i . Or par l’identit´ e binomiale
SOLUTIONS DES EXERCICES
3) Exprimons l’´ ev` enement {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } en fonction des ε k :
{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } = {τ 1 = t 1 , τ 2 = t 2 − t 1 , . . . , τ n = t n − t n−1 },
d’o` u, en posant t 0 = 0, P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n } =
n
k=1
q
t k −t k−1 −1 p =
p
n q
(t 1 −t 0 −1)+···+(t n −t n−1 −1) = p
n q
t n −n , si 0 < t 1 < · · · < t n , et 0 sinon.
4) D’abord, P(A) = P{N m = n} = P{
m
k=1
ε k = n} =
m
n
p
n q
m−n . Or
B ∩ A = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n , N m = n} = {T 1 = t 1 , . . . , T n = t n ,
T n+1 > m}, d’o` u P(B ∩ A) =
k≥m+1
P{T 1 = t 1 , . . . , T n = t n , T n+1 = k},
une expression qui est nulle lorsque l’une au moins des in´ egalit´ es 0 <
t 1 < · · · < t n ≤ m n’est pas v´ erifi´ ee, et qui lorsque toutes ces in´ egalit´ es
sont v´ erifi´ ees, vaut
k≥m+1
p
n+1 q
k−n−1 =
p
n+1
q n+1
q
m+1
1 − q
= p
n q
m−n . Ainsi
P(B | A) =
P(B ∩ A)
P(A)
=
1
m
n
, si 0 < t 1 < · · · < t n ≤ m ;
0,
sinon.
5) a) On commence par d´ eterminer la loi conjointe de (U n , V n ) ; `
a cet effet,
on exprime l’´ ev` enement {U n = i, V n = j} en fonction des ε k . Pour
0 ≤ i ≤ n − 1 et j ≥ 1 on a {U n = i, V n = j} = {ε n−i = 1, ε n−i+1 =
· · · = ε n = 0 ; ε n+1 = · · · = ε n+j−1 = 0, ε n+j = 1} et pour i = n et
j ≥ 1 on trouve {U n = n, V n = j} = {ε 1 = · · · = ε n = 0 ; ε n+1 = · · · =
ε n+j−1 = 0, ε n+j = 1}. La loi conjointe de (U n , V n ) est donn´ ee pour
0 ≤ i ≤ n − 1, j ≥ 1 par P{U n = i, V n = j} = p
2 q
i+j−1 = (pq
i )(pq
j−1 )
et P{U n = n, V n = j} = q
n pq
j−1 . On en d´ eduit les lois marginales
P{U n = i} =
j≥1
P{U n = i, V n = j} =
pq
i , si 0 ≤ i ≤ n − 1 ;
q
n , si i = n ;
P{V n = j} =
n
i=0
P{U n = i, V n = j} = pq
j−1
(j ≥ 1).
La loi conjointe est bien le produit des lois marginales. Les variables
al´ eatoires U n , V n sont donc ind´ ependantes. On remarquera, en outre,
que U n a mˆ eme loi que inf(τ 1 − 1, n) et que V n a mˆ eme loi que τ 1 (qui
est ind´ ependante de n).
b) Il r´ esulte de la remarque de 5a) que U n converge en loi vers τ 1 − 1,
c’est-` a-dire comme on peut le voir directement, lim
n→∞
P{U n = i} = pq
i
(i = 0, 1, . . . ).
11.
Posons G =
N
r=0
2N −r
N
1
2
2N −r . Alors, avec N − r = i, on a G =
1
2
N N
i=0
(N +1) i
i!
1
2
i . Or par l’identit´ e binomiale