CHAPITRE 7
291
5.
Valeur maximum atteinte pour l’entier k d´ efini par λ − 1 < k ≤ λ.
6.
P =
500
3
1
365
3
364
365
497
. On a n = 500, p = 1/365, d’o` u
np = λ = 500/365. En utilisant l’approximation de la loi de Poisson,
on a : P ≈ e
−λ λ
3 /3! ≈ 0, 11.
7.
Si a) est vraie, on a p n = e
−λ λ
n /n! pour tout n ≥ 0, d’o` u b). Si b)
est vraie, pour tout n ≥ 1 on a :
p n
p 0
=
p 1
p 0
p 2
p 1
· · ·
p n
p n−1
=
λ
n
n!
et donc
p n = p 0
λ
n!
, d’o` u p 0 = e
−λ , puisqu’il faut que
n≥0
p n = 1.
8.
On a : E[1/X] = E[1/(1+(X −1))] = E[
1
0
u
X−1 du] =
1
0
E[u
X−1 ] du =
1
0
(1/u)E[u
X ] du. Or E[u
X ] = G X (u) = pu/(1 − qu), d’o` u
E[1/X] =
1
0
(p/(1 − qu)) du = −(p/q) Log p. Pour p =
1
2 , on trouve
E[1/X] = Log 2. [Noter que si X suit la loi g´ eom´ etrique
k≥0 pq
k ε k
(0 < p < 1), alors E[1/X] = +∞ ; X partage cette propri´ et´ e avec la
variable exponentielle, dont elle est la version discr` ete.]
9. 2 a) La fonction g´ en´ eratrice de (N 1 , N 2 ) est donn´ ee par
g(u, v) = E[u
N 1 v
N 2 ] =
n≥0
E[u
N 1 v
N 2 | N = n]P{N = n}. Or
E[u
N 1 v
N 2 | N = n] =
n
k=0
u
k v
n−k
n
k
p
k q
n−k =
n
k=0
n
k
(pu)
k (qv)
n−k =
(pu + qv)
n , d’o` u g(u, v) =
n≥0
(pu + qv)
n P{N = n}, c’est-` a-dire en
d´ esignant par G la fonction g´ en´ eratrice de N , la relation g(u, v) =
G(pu + qv). Or si L(N ) = P(λ), on a G(u) = e
λ(u−1) , d’o` u g(u, v) =
e
λ(pu+qv−1) = e
λp(u−1) e
λq(v−1) = g(u, 1)g(1, v).
2 b) Supposons N 1 , N 2 ind´ ependantes ; alors g(u, v) = g(u, 1)g(1, v), c’est` a-dire d’apr` es (1), en d´ esignant par G la fonction g´ en´ eratrice de N ,
G(pu + qv) = G(pu + q)G(p + qv). En posant h(x) = G(1 − x), on a
h(pu + qv) = h(pu)h(qv), d’o` u h(x + y) = h(x)h(y). C’est l’´ equation
fonctionnelle de l’exponentielle ; les seules solutions continues sont de
la forme h(x) = e
−λx (λ r´ eel) ; d’o` u G(x) = h(1 − x) = e
λ(x−1) . Comme
G doit ˆ etre une fonction g´ en´ eratrice, on doit avoir λ > 0 et N suit une
loi de Poisson de param` etre λ.
10. 1) P{T 1 = n} = P{ε 1 = · · · = ε n−1 = 0 ; ε n = 1} = q
n−1 p (n ≥ 1).
2) Il s’agit de montrer que P{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } =
n
k=1
q
i k −1 p,
o` u i k ≥ 1 (k = 1, . . . , n). Pour le voir, on exprimera l’´ ev` enement
{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } en fonction des ε k : {τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } =
{ε 1 = · · · = ε i 1 −1 = 0, ε i 1 = 1; ε i 1 +1 = · · · = ε i 1 +i 2 −1 = 0, ε i 1 +i 2 = 1;
. . . , ε i 1 +···+i n−1 +1 = · · · = ε i 1 +···i n −1 = 0, ε i 1 +···+i n = 1}, d’o` u
P{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } = q
i 1 −1 p · q
i 2 −1 p · · · q
i n −1 p.
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5.
Valeur maximum atteinte pour l’entier k d´ efini par λ − 1 < k ≤ λ.
6.
P =
500
3
1
365
3
364
365
497
. On a n = 500, p = 1/365, d’o` u
np = λ = 500/365. En utilisant l’approximation de la loi de Poisson,
on a : P ≈ e
−λ λ
3 /3! ≈ 0, 11.
7.
Si a) est vraie, on a p n = e
−λ λ
n /n! pour tout n ≥ 0, d’o` u b). Si b)
est vraie, pour tout n ≥ 1 on a :
p n
p 0
=
p 1
p 0
p 2
p 1
· · ·
p n
p n−1
=
λ
n
n!
et donc
p n = p 0
λ
n!
, d’o` u p 0 = e
−λ , puisqu’il faut que
n≥0
p n = 1.
8.
On a : E[1/X] = E[1/(1+(X −1))] = E[
1
0
u
X−1 du] =
1
0
E[u
X−1 ] du =
1
0
(1/u)E[u
X ] du. Or E[u
X ] = G X (u) = pu/(1 − qu), d’o` u
E[1/X] =
1
0
(p/(1 − qu)) du = −(p/q) Log p. Pour p =
1
2 , on trouve
E[1/X] = Log 2. [Noter que si X suit la loi g´ eom´ etrique
k≥0 pq
k ε k
(0 < p < 1), alors E[1/X] = +∞ ; X partage cette propri´ et´ e avec la
variable exponentielle, dont elle est la version discr` ete.]
9. 2 a) La fonction g´ en´ eratrice de (N 1 , N 2 ) est donn´ ee par
g(u, v) = E[u
N 1 v
N 2 ] =
n≥0
E[u
N 1 v
N 2 | N = n]P{N = n}. Or
E[u
N 1 v
N 2 | N = n] =
n
k=0
u
k v
n−k
n
k
p
k q
n−k =
n
k=0
n
k
(pu)
k (qv)
n−k =
(pu + qv)
n , d’o` u g(u, v) =
n≥0
(pu + qv)
n P{N = n}, c’est-` a-dire en
d´ esignant par G la fonction g´ en´ eratrice de N , la relation g(u, v) =
G(pu + qv). Or si L(N ) = P(λ), on a G(u) = e
λ(u−1) , d’o` u g(u, v) =
e
λ(pu+qv−1) = e
λp(u−1) e
λq(v−1) = g(u, 1)g(1, v).
2 b) Supposons N 1 , N 2 ind´ ependantes ; alors g(u, v) = g(u, 1)g(1, v), c’est` a-dire d’apr` es (1), en d´ esignant par G la fonction g´ en´ eratrice de N ,
G(pu + qv) = G(pu + q)G(p + qv). En posant h(x) = G(1 − x), on a
h(pu + qv) = h(pu)h(qv), d’o` u h(x + y) = h(x)h(y). C’est l’´ equation
fonctionnelle de l’exponentielle ; les seules solutions continues sont de
la forme h(x) = e
−λx (λ r´ eel) ; d’o` u G(x) = h(1 − x) = e
λ(x−1) . Comme
G doit ˆ etre une fonction g´ en´ eratrice, on doit avoir λ > 0 et N suit une
loi de Poisson de param` etre λ.
10. 1) P{T 1 = n} = P{ε 1 = · · · = ε n−1 = 0 ; ε n = 1} = q
n−1 p (n ≥ 1).
2) Il s’agit de montrer que P{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } =
n
k=1
q
i k −1 p,
o` u i k ≥ 1 (k = 1, . . . , n). Pour le voir, on exprimera l’´ ev` enement
{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } en fonction des ε k : {τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } =
{ε 1 = · · · = ε i 1 −1 = 0, ε i 1 = 1; ε i 1 +1 = · · · = ε i 1 +i 2 −1 = 0, ε i 1 +i 2 = 1;
. . . , ε i 1 +···+i n−1 +1 = · · · = ε i 1 +···i n −1 = 0, ε i 1 +···+i n = 1}, d’o` u
P{τ 1 = i 1 , . . . , τ n = i n } = q
i 1 −1 p · q
i 2 −1 p · · · q
i n −1 p.