290
SOLUTIONS DES EXERCICES
(N + 1) + (N − r) = 2N + 1 − r, aboutissant donc, soit au point P
(N +1, N − r), soit au point Q (N − r, N + 1). La probabilit´ e est donn´ ee
par P({ω
}) = P{ω ∈ Ω n : ω admet ω
comme section commen¸ cante},
qui vaut (1/2
n )2
n−(2N +1−r) = 2
−(2N +1)+r . (On constate que cette
expression ne d´ epend plus de n.)
Pour calculer u r il faut compter le nombre de chemins ω
allant de
(0, 0) `
a P et de (0, 0) `
a Q et ceci, en touchant le bord du carr´ e pour
la premi` ere fois. Cela signifie que le chemin doit se terminer par un
segment horizontal s’il aboutit `
a P et par un segment vertical s’il
aboutit `
a Q. Le nombre de ces chemins aboutissant ` a P est donc
2N −r
N
;
de mˆ eme pour ceux aboutissant `
a Q. D’o` u
u r = 2
2N − r
N
1
2 2N +1−r =
2N − r
N
1
2 2N −r
(r = 0, 1, . . . , N).
0
N + 1
n
N + 1
n
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d d
P
Q
On voit de mˆ eme, en raisonnant sur le carr´ e (0, 0), (0, N), (N, 0),
(N, N ), que v r =
2N −r−1
N −1
(1/2
2N −r−1 ) (r = 1, . . . , N). Les rubriques
b) . . . e) se traitent comme pr´ ec´ edemment. On doit `
a un ´ etudiant de
licence de 1995 d’avoir calcul´ e directement v en montrant que v = u 0 /2.
Sa m´ ethode a consist´ e ` a consid´ erer les deux ´ ev` enements :
A (de probabilit´ e u 0 ) le fumeur s’aper¸ coit, pour la premi` ere fois, que
l’une des boˆ ıtes est vide, et l’autre est vide aussi, sans que le fumeur
le sache ; B (de probabilit´ e v) la premi` ere boˆ ıte vid´ ee n’est pas la
premi` ere reconnue vide .
Lors de la r´ ealisation de chacun de ces ´ ev` enements, on passe par le point
(N, N ), mais dans le cas A, peu importe si l’on continue horizontalement
ou verticalement ; en revanche, dans le cas B, il faut continuer dans le
sens oppos´ e ` a l’arriv´ ee. Il en r´ esulte que v = u 0 /2.
4.
b(k; n, p)
b(k − 1; n, p)
= 1 +
(n + 1)p − k
kq
. Le terme b(k; n, p) est sup´ erieur au
pr´ ec´ edent pour k < (n+1)p, inf´ erieur pour k > (n+1)p. Si (n+1)p = m
est un entier, alors b(m; n, p) = b(m − 1; n, p). D’autre part, il existe un
entier m et un seul v´ erifiant (n + 1)p − 1 < m ≤ (n + 1)p.
SOLUTIONS DES EXERCICES
(N + 1) + (N − r) = 2N + 1 − r, aboutissant donc, soit au point P
(N +1, N − r), soit au point Q (N − r, N + 1). La probabilit´ e est donn´ ee
par P({ω
}) = P{ω ∈ Ω n : ω admet ω
comme section commen¸ cante},
qui vaut (1/2
n )2
n−(2N +1−r) = 2
−(2N +1)+r . (On constate que cette
expression ne d´ epend plus de n.)
Pour calculer u r il faut compter le nombre de chemins ω
allant de
(0, 0) `
a P et de (0, 0) `
a Q et ceci, en touchant le bord du carr´ e pour
la premi` ere fois. Cela signifie que le chemin doit se terminer par un
segment horizontal s’il aboutit `
a P et par un segment vertical s’il
aboutit `
a Q. Le nombre de ces chemins aboutissant ` a P est donc
2N −r
N
;
de mˆ eme pour ceux aboutissant `
a Q. D’o` u
u r = 2
2N − r
N
1
2 2N +1−r =
2N − r
N
1
2 2N −r
(r = 0, 1, . . . , N).
0
N + 1
n
N + 1
n
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d
d d
P
Q
On voit de mˆ eme, en raisonnant sur le carr´ e (0, 0), (0, N), (N, 0),
(N, N ), que v r =
2N −r−1
N −1
(1/2
2N −r−1 ) (r = 1, . . . , N). Les rubriques
b) . . . e) se traitent comme pr´ ec´ edemment. On doit `
a un ´ etudiant de
licence de 1995 d’avoir calcul´ e directement v en montrant que v = u 0 /2.
Sa m´ ethode a consist´ e ` a consid´ erer les deux ´ ev` enements :
A (de probabilit´ e u 0 ) le fumeur s’aper¸ coit, pour la premi` ere fois, que
l’une des boˆ ıtes est vide, et l’autre est vide aussi, sans que le fumeur
le sache ; B (de probabilit´ e v) la premi` ere boˆ ıte vid´ ee n’est pas la
premi` ere reconnue vide .
Lors de la r´ ealisation de chacun de ces ´ ev` enements, on passe par le point
(N, N ), mais dans le cas A, peu importe si l’on continue horizontalement
ou verticalement ; en revanche, dans le cas B, il faut continuer dans le
sens oppos´ e ` a l’arriv´ ee. Il en r´ esulte que v = u 0 /2.
4.
b(k; n, p)
b(k − 1; n, p)
= 1 +
(n + 1)p − k
kq
. Le terme b(k; n, p) est sup´ erieur au
pr´ ec´ edent pour k < (n+1)p, inf´ erieur pour k > (n+1)p. Si (n+1)p = m
est un entier, alors b(m; n, p) = b(m − 1; n, p). D’autre part, il existe un
entier m et un seul v´ erifiant (n + 1)p − 1 < m ≤ (n + 1)p.