CHAPITRE 7
289
Chapitre 7
2. P{T r = r + k} =
r+k−1
r−1
p
r q
k (k ≥ 0).
3. Consid´ erons une suite de r´ ep´ etitions ind´ ependantes d’une alternative dont
les deux r´ esultats sont : A choix de la poche g , B choix de la poche d ,
avec les probabilit´ es
1
2 et
1
2 . D´ esignons par T s le nombre minimum de
r´ ep´ etitions qu’il faut effectuer pour obtenir s fois le r´ esultat A. La variable
al´ eatoire T s suit la loi binomiale n´ egative : P{T s = s+k} =
s+k−1
s−1
1
2
s+k
(k ≥ 0).
a) L’´ ev` enement la poche g est reconnue vide et la poche d contient r
allumettes est ´ equivalent `
a {T N +1 = (N + 1) + (N − r)}, dont la
probabilit´ e est u
r =
2N −r
N
2
−(N +1) 2
−(N −r) . Le mˆ eme raisonnement
s’applique en ´ echangeant poche g et d ; d’o` u u r = 2u
r =
2N −r
N
2
−2N +r .
b) v r = 2P{T N = N + (N − r)} =
2N −r−1
N −1
2
−2N +r+1 .
c) v =
N
r=1
v r 2
−(r+1) = 2
−2N
N
r=1
2N −r−1
N −1
. (Supposons qu’au moment
o` u la premi` ere boˆ ıte est vid´ ee, l’autre contienne encore r allumettes
(r ≥ 1). Cette premi` ere boˆ ıte n’est pas la premi` ere ` a ˆ etre reconnue
vide, si et seulement si, lors des (r + 1) choix ult´ erieurs, le fumeur
choisit l’autre boˆ ıte : probabilit´ e ´ egale ` a 2
−(r+1) .)
d) Utiliser l’identit´ e
a−k
N −1
+
a−k
N
=
a−k+1
N
et sommer de k = 0 `
a k = n.
e) Prenons dans d) n = N , a = 2N −1 :
N
k=1
2N −1−k
N −1
=
2N
N
−
N −1
N
−
2N −1
N −1
=
1
2
2N
N
, d’o` u le r´ esultat.
Remarque 1. — Il r´ esulte de a) que l’on a
N
r=0
2N −r
N
(1/2)
2N −r = 1,
qu’il n’est pas ais´ e de d´ emontrer directement (voir Exercice 11).
Remarque 2. — La solution donn´ ee ci-dessus repose sur la notion de
variable al´ eatoire binomiale n´ egative, dont la d´ efinition pr´ esuppose un
espace probabilis´ e infini. Or on peut r´ esoudre le probl` eme dans le cadre
d’un espace probabilis´ e fini, comme nous l’a indiqu´ e Anatole Joffe.
Le nombre d’allumettes qu’il est n´ ecessaire de choisir pour que le fumeur
s’aper¸ coive qu’une boˆ ıte est vide peut varier entre N + 1 et 2N + 1.
Prenons n ≥ 2N + 1 et assimilons le choix d’une poche `
a un jeu de
pile ou face ; on peut mod´ eliser le probl` eme en prenant pour espace
fondamental l’ensemble Ω n des suites de longueur n dont les termes sont
des 0 ou des 1, chaque suite ´ etant affect´ ee de la probabilit´ e 1/2
n , ce qui
d´ efinit une mesure de probabilit´ e P sur Ω n .
Il y a bijection entre ces suites et les chemins latticiels de longueur n
reliant l’origine `
a la droite x + y = n. L’espace qui nous int´ eresse
est l’ensemble Ω
des chemins ω
partant de l’origine et aboutissant
` a l’un des cˆ ot´ es x = N + 1, y = N + 1, du carr´ e (0, 0), (0, N + 1),
(N + 1, 0), (N + 1, N + 1). Soit ω
un chemin de l’espace Ω
de longueur
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Chapitre 7
2. P{T r = r + k} =
r+k−1
r−1
p
r q
k (k ≥ 0).
3. Consid´ erons une suite de r´ ep´ etitions ind´ ependantes d’une alternative dont
les deux r´ esultats sont : A choix de la poche g , B choix de la poche d ,
avec les probabilit´ es
1
2 et
1
2 . D´ esignons par T s le nombre minimum de
r´ ep´ etitions qu’il faut effectuer pour obtenir s fois le r´ esultat A. La variable
al´ eatoire T s suit la loi binomiale n´ egative : P{T s = s+k} =
s+k−1
s−1
1
2
s+k
(k ≥ 0).
a) L’´ ev` enement la poche g est reconnue vide et la poche d contient r
allumettes est ´ equivalent `
a {T N +1 = (N + 1) + (N − r)}, dont la
probabilit´ e est u
r =
2N −r
N
2
−(N +1) 2
−(N −r) . Le mˆ eme raisonnement
s’applique en ´ echangeant poche g et d ; d’o` u u r = 2u
r =
2N −r
N
2
−2N +r .
b) v r = 2P{T N = N + (N − r)} =
2N −r−1
N −1
2
−2N +r+1 .
c) v =
N
r=1
v r 2
−(r+1) = 2
−2N
N
r=1
2N −r−1
N −1
. (Supposons qu’au moment
o` u la premi` ere boˆ ıte est vid´ ee, l’autre contienne encore r allumettes
(r ≥ 1). Cette premi` ere boˆ ıte n’est pas la premi` ere ` a ˆ etre reconnue
vide, si et seulement si, lors des (r + 1) choix ult´ erieurs, le fumeur
choisit l’autre boˆ ıte : probabilit´ e ´ egale ` a 2
−(r+1) .)
d) Utiliser l’identit´ e
a−k
N −1
+
a−k
N
=
a−k+1
N
et sommer de k = 0 `
a k = n.
e) Prenons dans d) n = N , a = 2N −1 :
N
k=1
2N −1−k
N −1
=
2N
N
−
N −1
N
−
2N −1
N −1
=
1
2
2N
N
, d’o` u le r´ esultat.
Remarque 1. — Il r´ esulte de a) que l’on a
N
r=0
2N −r
N
(1/2)
2N −r = 1,
qu’il n’est pas ais´ e de d´ emontrer directement (voir Exercice 11).
Remarque 2. — La solution donn´ ee ci-dessus repose sur la notion de
variable al´ eatoire binomiale n´ egative, dont la d´ efinition pr´ esuppose un
espace probabilis´ e infini. Or on peut r´ esoudre le probl` eme dans le cadre
d’un espace probabilis´ e fini, comme nous l’a indiqu´ e Anatole Joffe.
Le nombre d’allumettes qu’il est n´ ecessaire de choisir pour que le fumeur
s’aper¸ coive qu’une boˆ ıte est vide peut varier entre N + 1 et 2N + 1.
Prenons n ≥ 2N + 1 et assimilons le choix d’une poche `
a un jeu de
pile ou face ; on peut mod´ eliser le probl` eme en prenant pour espace
fondamental l’ensemble Ω n des suites de longueur n dont les termes sont
des 0 ou des 1, chaque suite ´ etant affect´ ee de la probabilit´ e 1/2
n , ce qui
d´ efinit une mesure de probabilit´ e P sur Ω n .
Il y a bijection entre ces suites et les chemins latticiels de longueur n
reliant l’origine `
a la droite x + y = n. L’espace qui nous int´ eresse
est l’ensemble Ω
des chemins ω
partant de l’origine et aboutissant
` a l’un des cˆ ot´ es x = N + 1, y = N + 1, du carr´ e (0, 0), (0, N + 1),
(N + 1, 0), (N + 1, N + 1). Soit ω
un chemin de l’espace Ω
de longueur