286
SOLUTIONS DES EXERCICES
arctg x = x 2 F 1
1/2, 1
3/2
; −x
2
=
n≥0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
(|x| < 1) ;
arcsin x = x 2 F 1
1/2, 1/2
3/2
; x
2
= x +
n≥1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
x
2n+1
2n + 1
(|x| < 1).
Chapitre 4
4. a) On prend pour Ω la classe des parties de quatre ´ el´ ements de X, puis
A = P(Ω) et pour P l’´ equir´ epartition sur Ω. Notons que card Ω =
20
4
.
b) Soit X i = X \ {(i, d), (i, g)}. Alors A i est la classe des parties de Ω
constitu´ ees de la i
i` eme paire et d’une partie `
a deux ´ el´ ements de X i .
c) P(A i ) =
18
2
20
4
=
3
95
.
d) Pour k = 2 on a : P(A i 1 ∩ A i 2 ) =
16
0
20
4
=
1
20
4
; pour k > 2, la quantit´ e
est nulle.
e) Soit E = A 1 ∪ · · · ∪ A 10 . D’apr` es la formule de Poincar´ e
P(E) =
10
i=1
P(A i ) −
1≤
3
95
−
10
2
20
4
=
99
323
.
5.
On prend pour Ω la classe des parties `
a quatre ´ el´ ements de l’ensemble de
cinquante-deux cartes ; le cardinal de Ω est
52
4
et P est l’´ equir´ epartition
sur Ω. La probabilit´ e cherch´ ee est
4
2
48
2
/
52
4
≈ 0, 025.
6.
Jeu de Passe-Dix . Plus g´ en´ eralement, supposons que l’on prenne
un nombre impair (2k + 1) de d´ es (k ≥ 0). Notons Ω l’ensemble des
suites ω = (α 1 , . . . , α 2k+1 ), o` u α i est le num´ ero amen´ e par le i
i` eme d´ e
(i = 1, . . . , 2k + 1) et prenons l’´ equir´ epartition P sur Ω. Si A d´ esigne
l’´ ev` enement la somme des points amen´ es est strictement sup´ erieure
` a 3 + 7k , il s’agit de montrer que P(A) = P(A
c ). Or l’application
(α 1 , . . . , α 2k+1 ) → (7 − α 1 , . . . , 7 − α 2k+1 ) est une bijection de A sur A
c ,
puisque α 1 +· · ·+α 2k+1 > 3+7k ⇔ (7−α 1 )+· · ·+(7−α 2k+1 ) ≤ 3+7k.
Autrement dit, le jeu de Passe-(3 + 7k) est ´ equitable. Le jeu de
Passe-Dix en est le cas particulier pour k = 1.
Chapitre 5
3.
L’ensemble C des ´ el´ ements ω de Ω pour lesquels la suite (X n (ω)) est
convergente peut ˆ etre repr´ esent´ e par :
C =
l≥1
n≥1
k≥n
ω : |X k (ω) − X n (ω)| <
1
l
.
5.
a = 0 ; F Y (y) = P{Y ≤ y} = H b (y) =
0, si y < b ;
1, si y ≥ b.
a > 0 ; F Y (y) = P{aX + b ≤ y} = P
X ≤
y − b
a
= F
y − b
a
.
SOLUTIONS DES EXERCICES
arctg x = x 2 F 1
1/2, 1
3/2
; −x
2
=
n≥0
(−1)
n x
2n+1
2n + 1
(|x| < 1) ;
arcsin x = x 2 F 1
1/2, 1/2
3/2
; x
2
= x +
n≥1
1 · 3 · 5 · · · (2n − 1)
2 · 4 · 6 · · · (2n)
x
2n+1
2n + 1
(|x| < 1).
Chapitre 4
4. a) On prend pour Ω la classe des parties de quatre ´ el´ ements de X, puis
A = P(Ω) et pour P l’´ equir´ epartition sur Ω. Notons que card Ω =
20
4
.
b) Soit X i = X \ {(i, d), (i, g)}. Alors A i est la classe des parties de Ω
constitu´ ees de la i
i` eme paire et d’une partie `
a deux ´ el´ ements de X i .
c) P(A i ) =
18
2
20
4
=
3
95
.
d) Pour k = 2 on a : P(A i 1 ∩ A i 2 ) =
16
0
20
4
=
1
20
4
; pour k > 2, la quantit´ e
est nulle.
e) Soit E = A 1 ∪ · · · ∪ A 10 . D’apr` es la formule de Poincar´ e
P(E) =
10
i=1
P(A i ) −
1≤
3
95
−
10
2
20
4
=
99
323
.
5.
On prend pour Ω la classe des parties `
a quatre ´ el´ ements de l’ensemble de
cinquante-deux cartes ; le cardinal de Ω est
52
4
et P est l’´ equir´ epartition
sur Ω. La probabilit´ e cherch´ ee est
4
2
48
2
/
52
4
≈ 0, 025.
6.
Jeu de Passe-Dix . Plus g´ en´ eralement, supposons que l’on prenne
un nombre impair (2k + 1) de d´ es (k ≥ 0). Notons Ω l’ensemble des
suites ω = (α 1 , . . . , α 2k+1 ), o` u α i est le num´ ero amen´ e par le i
i` eme d´ e
(i = 1, . . . , 2k + 1) et prenons l’´ equir´ epartition P sur Ω. Si A d´ esigne
l’´ ev` enement la somme des points amen´ es est strictement sup´ erieure
` a 3 + 7k , il s’agit de montrer que P(A) = P(A
c ). Or l’application
(α 1 , . . . , α 2k+1 ) → (7 − α 1 , . . . , 7 − α 2k+1 ) est une bijection de A sur A
c ,
puisque α 1 +· · ·+α 2k+1 > 3+7k ⇔ (7−α 1 )+· · ·+(7−α 2k+1 ) ≤ 3+7k.
Autrement dit, le jeu de Passe-(3 + 7k) est ´ equitable. Le jeu de
Passe-Dix en est le cas particulier pour k = 1.
Chapitre 5
3.
L’ensemble C des ´ el´ ements ω de Ω pour lesquels la suite (X n (ω)) est
convergente peut ˆ etre repr´ esent´ e par :
C =
l≥1
n≥1
k≥n
ω : |X k (ω) − X n (ω)| <
1
l
.
5.
a = 0 ; F Y (y) = P{Y ≤ y} = H b (y) =
0, si y < b ;
1, si y ≥ b.
a > 0 ; F Y (y) = P{aX + b ≤ y} = P
X ≤
y − b
a
= F
y − b
a
.