CHAPITRE 3
285
que {i 1 , . . . , i k } est ou n’est pas un sous-ensemble de [ l ]. La somme S
n
k
est donc ´ egale au nombre de sous ensembles {i 1 , . . . , i k }, de cardinal k, de
l’ensemble [ l ], c’est-` a-dire ´ egale ` a
l
k
(voir Proposition 4.4.1 du chap. 4).
Pour prouver la formule de Poincar´ e il suffit donc de v´ erifier l’identit´ e
1 =
n
k=1
(−1)
k−1
l
k
, qui est une banalit´ e.
Pour d´ emontrer l’identit´ e sur les V
r
n observons que lorsque l < r, on a
´ evidemment V
r
n = 0. Or pour 0 ≤ k ≤ n − r la quantit´ e S
n
r+k =
l
r+k
est
nulle ; le second membre de l’identit´ e ` a prouver est nul lui aussi. Lorsque
l = r, on a P(A 1 · · · A l ) = 1, d’o` u V
r
n = 1. Par ailleurs, pour 1 ≤ k ≤ n−r,
on a S
n
r+k =
l
r+k
=
l
l+k
= 0 et S
n
r =
l
r
=
l
l
= 1. Le second membre
vaut aussi 1. Enfin, lorsque l > r, on a V
r
n = 0. Quant au second membre, il
vaut :
n−r
k=0
(−1)
k
r+k
k
l
r+k
=
l−r
k=0
(−1)
k
r+k
k
l
r+k
=
l
r
l−r
k=0
(−1)
k
l−r
k
= 0.
Pour d´ emontrer l’identit´ e sur les W
r
n notons ´ egalement que si l < r les
deux membres sont nuls et ils sont tous deux ´ egaux `
a 1 si l = r. Lorsque
l > r, on a 1 ≥ W
r
n ≥ P(A 1 · · · A l A
c
l+1 · · · A
c
n ) = 1. Quant au second
membre, il est aussi ´ egal ` a 1 d’apr` es l’identit´ e d´ emontr´ ee dans § 5.4.
Pour la quatri` eme identit´ e observons que le membre de gauche vaut
1
2 [1 − (−1)
l ] = 1 ou 0 suivant que l est impair ou pair. Le membre de
droite vaut
l
j=1
(−1)
j−1 2
j−1
l
j
= −
1
2
l
j=1
(−2)
j
l
j
= −
1
2 [(−1)
l
− 1].
11. Pour tout entier n ≥ 1 on peut ´ ecrire : A = A 1 + · · · + A n + R n , o` u
R n =
k≥n+1
A k . D’apr` es c) on a donc P(A) = P(A 1 )+· · ·+P(A n )+P(R n ),
d’o` u, puisque P(R n ) ≥ 0, l’in´ egalit´ e P(A) ≥ P(A 1 ) + · · · + P(A n ), d’o` u,
en faisant tendre n vers l’infini, P(A) ≥
n≥1
P(A n ).
Remarque. — La σ-additivit´ e est ´ equivalente `
a l’additivit´ e simple, si pour
la suite d´ ecroissante (R n ) (n ≥ 1), on a P(R n ) → 0.
12. En posant f a (x) =
n≥0 (a) n (x
n /n!), on obtient f
a (x) = af a+1 (x)
(|x| < 1). D’autre part, f a+1 (x) − f a (x) = xf a+1 (x), d’o` u l’on d´ eduit
l’´ equation diff´ erentielle f
a (x) = af a (x)/(1 − x). Comme f a (0) = 1, on en
tire f a (x) = (1 − x)
−a (|x| < 1).
13. On a les d´ eveloppements :
sin x = x 0 F 1
−
3/2
; −
x
2
4
=
n≥0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
;
cos x = 0 F 1
−
1/2
; −
x
2
4
=
n≥0
(−1)
n x
2n
(2n)!
;
ln(1 + x) = x 2 F 1
1, 1
2
; −x
=
n≥1
(−1)
n−1 x
n
n
(|x| < 1) ;
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que {i 1 , . . . , i k } est ou n’est pas un sous-ensemble de [ l ]. La somme S
n
k
est donc ´ egale au nombre de sous ensembles {i 1 , . . . , i k }, de cardinal k, de
l’ensemble [ l ], c’est-` a-dire ´ egale ` a
l
k
(voir Proposition 4.4.1 du chap. 4).
Pour prouver la formule de Poincar´ e il suffit donc de v´ erifier l’identit´ e
1 =
n
k=1
(−1)
k−1
l
k
, qui est une banalit´ e.
Pour d´ emontrer l’identit´ e sur les V
r
n observons que lorsque l < r, on a
´ evidemment V
r
n = 0. Or pour 0 ≤ k ≤ n − r la quantit´ e S
n
r+k =
l
r+k
est
nulle ; le second membre de l’identit´ e ` a prouver est nul lui aussi. Lorsque
l = r, on a P(A 1 · · · A l ) = 1, d’o` u V
r
n = 1. Par ailleurs, pour 1 ≤ k ≤ n−r,
on a S
n
r+k =
l
r+k
=
l
l+k
= 0 et S
n
r =
l
r
=
l
l
= 1. Le second membre
vaut aussi 1. Enfin, lorsque l > r, on a V
r
n = 0. Quant au second membre, il
vaut :
n−r
k=0
(−1)
k
r+k
k
l
r+k
=
l−r
k=0
(−1)
k
r+k
k
l
r+k
=
l
r
l−r
k=0
(−1)
k
l−r
k
= 0.
Pour d´ emontrer l’identit´ e sur les W
r
n notons ´ egalement que si l < r les
deux membres sont nuls et ils sont tous deux ´ egaux `
a 1 si l = r. Lorsque
l > r, on a 1 ≥ W
r
n ≥ P(A 1 · · · A l A
c
l+1 · · · A
c
n ) = 1. Quant au second
membre, il est aussi ´ egal ` a 1 d’apr` es l’identit´ e d´ emontr´ ee dans § 5.4.
Pour la quatri` eme identit´ e observons que le membre de gauche vaut
1
2 [1 − (−1)
l ] = 1 ou 0 suivant que l est impair ou pair. Le membre de
droite vaut
l
j=1
(−1)
j−1 2
j−1
l
j
= −
1
2
l
j=1
(−2)
j
l
j
= −
1
2 [(−1)
l
− 1].
11. Pour tout entier n ≥ 1 on peut ´ ecrire : A = A 1 + · · · + A n + R n , o` u
R n =
k≥n+1
A k . D’apr` es c) on a donc P(A) = P(A 1 )+· · ·+P(A n )+P(R n ),
d’o` u, puisque P(R n ) ≥ 0, l’in´ egalit´ e P(A) ≥ P(A 1 ) + · · · + P(A n ), d’o` u,
en faisant tendre n vers l’infini, P(A) ≥
n≥1
P(A n ).
Remarque. — La σ-additivit´ e est ´ equivalente `
a l’additivit´ e simple, si pour
la suite d´ ecroissante (R n ) (n ≥ 1), on a P(R n ) → 0.
12. En posant f a (x) =
n≥0 (a) n (x
n /n!), on obtient f
a (x) = af a+1 (x)
(|x| < 1). D’autre part, f a+1 (x) − f a (x) = xf a+1 (x), d’o` u l’on d´ eduit
l’´ equation diff´ erentielle f
a (x) = af a (x)/(1 − x). Comme f a (0) = 1, on en
tire f a (x) = (1 − x)
−a (|x| < 1).
13. On a les d´ eveloppements :
sin x = x 0 F 1
−
3/2
; −
x
2
4
=
n≥0
(−1)
n x
2n+1
(2n + 1)!
;
cos x = 0 F 1
−
1/2
; −
x
2
4
=
n≥0
(−1)
n x
2n
(2n)!
;
ln(1 + x) = x 2 F 1
1, 1
2
; −x
=
n≥1
(−1)
n−1 x
n
n
(|x| < 1) ;