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SOLUTIONS DES EXERCICES
Si tous les A i sont finis, il en est de mˆ eme de
n
i=1 A i et on a la relation (1)
sous la forme 0 = 0 + · · · + 0. Supposons qu’il existe un A i , soit A 1 , qui ne
soit pas fini ; il est donc cofini. Puisque les A i sont disjoints, cet A 1 est le
seul ´ el´ ement de la suite (A 1 , . . . , A n ) qui soit cofini ; comme
n
i=1 A i est luimˆ eme cofini, on a la relation (1) sous la forme 1 = 1+0+· · ·+0. Montrons
enfin que P n’est pas σ-additive sur A. Prenons Ω = N ; A n = {n}
(n ∈ N). La suite (A n ) est une suite d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints
de A dont la r´ eunion N appartient `
a A. Si P ´ etait σ-additive, on devrait
avoir P(N) = P
n≥0
{n}
=
n≥0
P({n}), c’est-` a-dire 1 = 0, ce qui est une
contradiction.
8. Les d´ emonstrations sont analogues `
a celles de l’exercice 7. Remarquons
que si d´ enombrable signifie infini d´ enombrable , alors A n’est pas une
alg` ebre. En effet, puisque Ω a une puissance strictement sup´ erieure ` a celle
du d´ enombrable, l’ensemble Ω n’est ni d´ enombrable, ni cod´ enombrable
(Ω
c = ∅ est fini, et non infini d´ enombrable ) ; donc Ω ∈ A.
9. Consid´ erons la partition Π = {A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n : ε 1 , . . . , ε n = 0, 1} de Ω, o` u
l’on a pos´ e A
ε = A ou A
c , suivant que ε = 1 ou 0. Appelons atomes les
´ el´ ements de cette partition (il y en a au plus 2
n ). Tout ´ el´ ement de A est
r´ eunion (disjointe) d’atomes, de sorte que le premier membre de (1) s’´ ecrit
sous la forme
m
i=1 c
i P(α i ), o` u m
> 0, (c
1 , . . . , c
m ) est une suite de r´ eels
et (α 1 , . . . , α m ) est une suite d’atomes. La formule (1) s’´ ecrit donc :
(1
)
m
i=1
c
i P(α i ) ≥ 0.
Revenons ` a pr´ esent ` a la d´ emonstration. Il est clair que a) ⇒ b) et il suffit
donc de d´ emontrer b) ⇒ a). Supposons donc que (1
) soit vraie pour tout
P telle que P(A i ) = 0 ou 1 pour tout i = 1, . . . , n ; alors, par d´ efinition
des atomes, on a P(α) = 0 ou 1, pour tout atome α. En choisissant P de
telle sorte que P(α i ) = 1 (i = 1, . . . , m
), il r´ esulte de (1
) que c
i ≥ 0
(i = 1, . . . , m
). Mais alors on a (1
) pour toute mesure P, ce qui est la
propri´ et´ e a).
10. D’apr` es l’exercice 9, les quatre formules ` a prouver sont ´ etablies dans
toute leur g´ en´ eralit´ e, si l’on montre que pour tout l tel que 0 ≤ l ≤
n chacune d’elles est vraie pour la mesure de probabilit´ e P telle que
P(A 1 ) = · · · = P(A l ) = 1 et P(A l+1 ) = · · · = P(A n ) = 0. Consid´ erons
donc une telle mesure de probabilit´ e P d´ efinie `
a partir de l’indice l.
D’abord les quatre formules sont banalement vraies si l = 0. Supposons
1 ≤ l ≤ n et consid´ erons une sous-suite 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n o` u
k ≥ 1. Si i k ≤ l, on a P(A i 1 ) = · · · = P(A i k ) = 1, d’o` u, pour k ≥ 2,
P(A i 1 A i 2 ) = P(A i 1 ) + P(A i 2 ) − P(A i 1 ∪ A i 2 ) = 2 − 1 = 1 et donc
P(A i 1 · · · A i k ) = 1 par r´ ecurrence sur k . Au contraire, si i k ≥ l + 1, on a :
0 ≤ P(A i 1 · · · A i k ) ≤ P(A i k ) = 0. Ainsi P(A i 1 · · · A i k ) = 1 ou 0 suivant
SOLUTIONS DES EXERCICES
Si tous les A i sont finis, il en est de mˆ eme de
n
i=1 A i et on a la relation (1)
sous la forme 0 = 0 + · · · + 0. Supposons qu’il existe un A i , soit A 1 , qui ne
soit pas fini ; il est donc cofini. Puisque les A i sont disjoints, cet A 1 est le
seul ´ el´ ement de la suite (A 1 , . . . , A n ) qui soit cofini ; comme
n
i=1 A i est luimˆ eme cofini, on a la relation (1) sous la forme 1 = 1+0+· · ·+0. Montrons
enfin que P n’est pas σ-additive sur A. Prenons Ω = N ; A n = {n}
(n ∈ N). La suite (A n ) est une suite d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints
de A dont la r´ eunion N appartient `
a A. Si P ´ etait σ-additive, on devrait
avoir P(N) = P
n≥0
{n}
=
n≥0
P({n}), c’est-` a-dire 1 = 0, ce qui est une
contradiction.
8. Les d´ emonstrations sont analogues `
a celles de l’exercice 7. Remarquons
que si d´ enombrable signifie infini d´ enombrable , alors A n’est pas une
alg` ebre. En effet, puisque Ω a une puissance strictement sup´ erieure ` a celle
du d´ enombrable, l’ensemble Ω n’est ni d´ enombrable, ni cod´ enombrable
(Ω
c = ∅ est fini, et non infini d´ enombrable ) ; donc Ω ∈ A.
9. Consid´ erons la partition Π = {A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n : ε 1 , . . . , ε n = 0, 1} de Ω, o` u
l’on a pos´ e A
ε = A ou A
c , suivant que ε = 1 ou 0. Appelons atomes les
´ el´ ements de cette partition (il y en a au plus 2
n ). Tout ´ el´ ement de A est
r´ eunion (disjointe) d’atomes, de sorte que le premier membre de (1) s’´ ecrit
sous la forme
m
i=1 c
i P(α i ), o` u m
> 0, (c
1 , . . . , c
m ) est une suite de r´ eels
et (α 1 , . . . , α m ) est une suite d’atomes. La formule (1) s’´ ecrit donc :
(1
)
m
i=1
c
i P(α i ) ≥ 0.
Revenons ` a pr´ esent ` a la d´ emonstration. Il est clair que a) ⇒ b) et il suffit
donc de d´ emontrer b) ⇒ a). Supposons donc que (1
) soit vraie pour tout
P telle que P(A i ) = 0 ou 1 pour tout i = 1, . . . , n ; alors, par d´ efinition
des atomes, on a P(α) = 0 ou 1, pour tout atome α. En choisissant P de
telle sorte que P(α i ) = 1 (i = 1, . . . , m
), il r´ esulte de (1
) que c
i ≥ 0
(i = 1, . . . , m
). Mais alors on a (1
) pour toute mesure P, ce qui est la
propri´ et´ e a).
10. D’apr` es l’exercice 9, les quatre formules ` a prouver sont ´ etablies dans
toute leur g´ en´ eralit´ e, si l’on montre que pour tout l tel que 0 ≤ l ≤
n chacune d’elles est vraie pour la mesure de probabilit´ e P telle que
P(A 1 ) = · · · = P(A l ) = 1 et P(A l+1 ) = · · · = P(A n ) = 0. Consid´ erons
donc une telle mesure de probabilit´ e P d´ efinie `
a partir de l’indice l.
D’abord les quatre formules sont banalement vraies si l = 0. Supposons
1 ≤ l ≤ n et consid´ erons une sous-suite 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n o` u
k ≥ 1. Si i k ≤ l, on a P(A i 1 ) = · · · = P(A i k ) = 1, d’o` u, pour k ≥ 2,
P(A i 1 A i 2 ) = P(A i 1 ) + P(A i 2 ) − P(A i 1 ∪ A i 2 ) = 2 − 1 = 1 et donc
P(A i 1 · · · A i k ) = 1 par r´ ecurrence sur k . Au contraire, si i k ≥ l + 1, on a :
0 ≤ P(A i 1 · · · A i k ) ≤ P(A i k ) = 0. Ainsi P(A i 1 · · · A i k ) = 1 ou 0 suivant