CHAPITRE 3
283
Or
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
= 1 (= 1 − (1 − 1)
n ) ; d’o` u le r´ esultat.
5. a) Il s’agit de montrer que d(A, B) ≥ 0, d(A, A) = 0 et d(A, C) ≤
d(A, B) + d(B, C). Il suffit de montrer cette derni` ere propri´ et´ e ; elle
devient ´ evidente, si l’on repr´ esente chacun des ´ ev` enements AC, AB,
B C par les atomes : A C = ABC
c
∪ AB
c C
c
∪ A
c BC ∪ A
c B
c C ;
A B = AB
c C ∪ AB
c C
c
∪ A
c BC ∪ A
c BC
c ; B C = ABC
c
∪ A
c BC
c
∪
AB
c C ∪ A
c B
c C. On voit que A C ⊂ (A B) ∪ (B C). D’o` u le
r´ esultat. On peut ´ etablir cette derni` ere inclusion de fa¸ con plus rapide
en observant que l’op´ eration est associative et que A A = ∅ pour
tout A ∈ A. On a alors : A C = A ∅ ∅ C = A (B B) C =
(A B) (B C) ⊂ (A B) ∪ (B C).
b) On a P(A B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B), d’o` u le r´ esultat en
remarquant que P(A ∩ B) ≤ P(A), P(B).
6.
D´ emontrons la premi` ere des in´ egalit´ es. On pose : A ∗ = lim inf n A n =
n≥1 B n et B n =
k≥n A k (n ≥ 1). Alors (B n ) est une suite croissante
et A ∗ = lim n B n . On a donc : P(A ∗ ) = P(lim n B n ) = lim n P(B n ). Or
pour tout n ≥ 1 on a : B n ⊂ A n , d’o` u P(B n ) ≤ P(A n ). Prenons la
limite inf´ erieure des deux cˆ ot´ es et remarquons que, la suite (B n ) ´ etant
croissante, on a : lim inf n P(B n ) = lim n P(B n ) = P(A ∗ ). Il en r´ esulte :
P(A ∗ ) ≤ lim inf n P(A n ). Prenons Ω = {−1, +1}, P({−1}) = 1/4,
P({+1}) = 3/4, A n = {(−1)
n
}. Alors lim inf n A n = ∅, lim sup n A n =
Ω, lim inf n P(A n ) = 1/4, lim sup n P(A n ) = 3/4, d’o` u le r´ esultat.
7. a) On montre que A est une alg` ebre de la fa¸ con suivante : Ω ∈ A, car Ω
est cofini ; ensuite, A est stable par passage au compl´ ementaire. Il reste
` a montrer que A est stable par r´ eunion finie. Soient A 1 , . . . , A n ∈ A. Si
tous les A i sont finis, il en est de mˆ eme de
n
i=1 A i , qui est donc un
´ el´ ement de A. Supposons qu’il existe un A i , soit A 1 , qui ne soit pas fini.
Il est donc cofini. On a alors
n
i=1 A i ⊃ A 1 , (
n
i=1 A i )
c
⊂ A
c
1 et A
c
1 est
fini ; donc
n
i=1 A i est cofini, et par suite appartient `
a A. Montrons que
A n’est pas une σ-alg` ebre. Prenons Ω = N ; il suffit de remarquer que
l’ensemble
k≥0 {2k} des nombres pairs est une r´ eunion d´ enombrable
d’´ el´ ements de A (il n’est ni fini, ni cofini).
b) Il suffit de remarquer que l’alg` ebre α(C) engendr´ ee par C contient
l’ensemble A des parties finies et cofinies de Ω ; comme cet ensemble
est une alg` ebre, on a : α(C) = A.
c) On a tout d’abord P ≥ 0 et P(∅) = 0, puisque ∅ est fini. Montrons
que P est simplement additive, c’est-` a-dire que pour toute suite finie
(A 1 , . . . , A n ) d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints de A on a :
(1)
P
n
i=1
A i
=
n
i=1
P(A i ).
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Or
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
= 1 (= 1 − (1 − 1)
n ) ; d’o` u le r´ esultat.
5. a) Il s’agit de montrer que d(A, B) ≥ 0, d(A, A) = 0 et d(A, C) ≤
d(A, B) + d(B, C). Il suffit de montrer cette derni` ere propri´ et´ e ; elle
devient ´ evidente, si l’on repr´ esente chacun des ´ ev` enements AC, AB,
B C par les atomes : A C = ABC
c
∪ AB
c C
c
∪ A
c BC ∪ A
c B
c C ;
A B = AB
c C ∪ AB
c C
c
∪ A
c BC ∪ A
c BC
c ; B C = ABC
c
∪ A
c BC
c
∪
AB
c C ∪ A
c B
c C. On voit que A C ⊂ (A B) ∪ (B C). D’o` u le
r´ esultat. On peut ´ etablir cette derni` ere inclusion de fa¸ con plus rapide
en observant que l’op´ eration est associative et que A A = ∅ pour
tout A ∈ A. On a alors : A C = A ∅ ∅ C = A (B B) C =
(A B) (B C) ⊂ (A B) ∪ (B C).
b) On a P(A B) = P(A) + P(B) − 2P(A ∩ B), d’o` u le r´ esultat en
remarquant que P(A ∩ B) ≤ P(A), P(B).
6.
D´ emontrons la premi` ere des in´ egalit´ es. On pose : A ∗ = lim inf n A n =
n≥1 B n et B n =
k≥n A k (n ≥ 1). Alors (B n ) est une suite croissante
et A ∗ = lim n B n . On a donc : P(A ∗ ) = P(lim n B n ) = lim n P(B n ). Or
pour tout n ≥ 1 on a : B n ⊂ A n , d’o` u P(B n ) ≤ P(A n ). Prenons la
limite inf´ erieure des deux cˆ ot´ es et remarquons que, la suite (B n ) ´ etant
croissante, on a : lim inf n P(B n ) = lim n P(B n ) = P(A ∗ ). Il en r´ esulte :
P(A ∗ ) ≤ lim inf n P(A n ). Prenons Ω = {−1, +1}, P({−1}) = 1/4,
P({+1}) = 3/4, A n = {(−1)
n
}. Alors lim inf n A n = ∅, lim sup n A n =
Ω, lim inf n P(A n ) = 1/4, lim sup n P(A n ) = 3/4, d’o` u le r´ esultat.
7. a) On montre que A est une alg` ebre de la fa¸ con suivante : Ω ∈ A, car Ω
est cofini ; ensuite, A est stable par passage au compl´ ementaire. Il reste
` a montrer que A est stable par r´ eunion finie. Soient A 1 , . . . , A n ∈ A. Si
tous les A i sont finis, il en est de mˆ eme de
n
i=1 A i , qui est donc un
´ el´ ement de A. Supposons qu’il existe un A i , soit A 1 , qui ne soit pas fini.
Il est donc cofini. On a alors
n
i=1 A i ⊃ A 1 , (
n
i=1 A i )
c
⊂ A
c
1 et A
c
1 est
fini ; donc
n
i=1 A i est cofini, et par suite appartient `
a A. Montrons que
A n’est pas une σ-alg` ebre. Prenons Ω = N ; il suffit de remarquer que
l’ensemble
k≥0 {2k} des nombres pairs est une r´ eunion d´ enombrable
d’´ el´ ements de A (il n’est ni fini, ni cofini).
b) Il suffit de remarquer que l’alg` ebre α(C) engendr´ ee par C contient
l’ensemble A des parties finies et cofinies de Ω ; comme cet ensemble
est une alg` ebre, on a : α(C) = A.
c) On a tout d’abord P ≥ 0 et P(∅) = 0, puisque ∅ est fini. Montrons
que P est simplement additive, c’est-` a-dire que pour toute suite finie
(A 1 , . . . , A n ) d’´ el´ ements deux ` a deux disjoints de A on a :
(1)
P
n
i=1
A i
=
n
i=1
P(A i ).