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SOLUTIONS DES EXERCICES
4. a) Introduisons la relation d’´ equivalence R sur Ω d´ efinie par :
x R y ⇐⇒ ∀ A ∈ A [(x ∈ A) ⇔ (y ∈ A)].
Les classes d’´ equivalence de cette relation appartiennent `
a A et forment
la partition d´ esir´ ee.
b) Non.
5. L’alg` ebre A est engendr´ ee par la famille (d’ensembles disjoints)
Π = {A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n }, o` u ε 1 , . . . , ε n = 0, 1 et o` u l’on a pos´ e : A
ε = A
ou A
c , suivant que ε = 1 ou 0. Les ´ el´ ements de cette famille peuvent ˆ etre
appel´ es les atomes ; tout ´ el´ ement de A est r´ eunion (finie) d’atomes. La
famille Π a au plus 2
n ´ el´ ements, donc A a au plus 2
2
n ´ el´ ements.
6. Les dix propri´ et´ es se d´ emontrent de la mˆ eme fa¸ con. Montrons-le pour C 3 :
a) ]a, b] = [a, b] \ [a, a], d’o` u T(C 3 ) ⊂ B
1 .
b) [a, b] =]a, b] ∪
k≥1
]a − 1/k, a]
, d’o` u B
1
⊂ T(C 3 ).
7. Dans cet exercice, d´ enombrable signifie au plus d´ enombrable . La
condition est ´ evidemment suffisante, puisque si Ω est d´ enombrable, alors
T(C) = P(Ω). Pour montrer qu’elle est n´ ecessaire, on introduit la classe A
des ´ el´ ements de P(Ω) constitu´ ee des parties d´ enombrables de Ω, ainsi que
de leurs compl´ ementaires. Une simple v´ erification montre que A est une
tribu. Supposons `
a pr´ esent que T(C) = P(Ω). Il r´ esulte alors de la suite
d’inclusions C ⊂ A ⊂ P(Ω) que T(C) = T(A) = P(Ω). Or puisque A est
une tribu, on a T(A) = A, d’o` u, en d´ efinitive, A = P(Ω). Ainsi toute
partie de Ω est soit d´ enombrable, soit de compl´ ementaire d´ enombrable.
Or ceci ne peut avoir lieu que si Ω est lui-mˆ eme d´ enombrable. Si, en effet,
Ω est non-d´ enombrable, il existe un sous-ensemble A ∈ P(Ω) tel que A et
A
c sont non-d´ enombrables.
8. Prenons pour ensemble fondamental l’ensemble `
a trois ´ el´ ements Ω =
{a, b, c} et d´ esignons par A a (resp. A b , resp. A c ) la tribu engendr´ ee par {a}
(resp. {b}, resp. {c}). Par exemple, A a = {∅, {a}, {b, c}, Ω}. Or l’ensemble
A b ∪ A c n’est pas une tribu, puisqu’il contient bien les ´ el´ ements {b} et {c},
mais non {b, c}. De mˆ eme, les ensembles A c ∪ A a et A a ∪ A b ne sont pas
des tribus, mais la r´ eunion A a ∪ A b ∪ A c en est une.
Chapitre 3
4. Appliquer la formule de Poincar´ e (cf. Proposition 3.1) aux ´ ev` enements
A
c
1 , . . . , A
c
n :
P(A
c
1 ∪ · · · ∪ A
c
n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A
c
i 1 ∩ · · · ∩ A
c
i k
).
D’o` u
1 − P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· 1 − P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k )
.
=
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
−
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k ).
SOLUTIONS DES EXERCICES
4. a) Introduisons la relation d’´ equivalence R sur Ω d´ efinie par :
x R y ⇐⇒ ∀ A ∈ A [(x ∈ A) ⇔ (y ∈ A)].
Les classes d’´ equivalence de cette relation appartiennent `
a A et forment
la partition d´ esir´ ee.
b) Non.
5. L’alg` ebre A est engendr´ ee par la famille (d’ensembles disjoints)
Π = {A
ε 1
1 ∩ · · · ∩ A
ε n
n }, o` u ε 1 , . . . , ε n = 0, 1 et o` u l’on a pos´ e : A
ε = A
ou A
c , suivant que ε = 1 ou 0. Les ´ el´ ements de cette famille peuvent ˆ etre
appel´ es les atomes ; tout ´ el´ ement de A est r´ eunion (finie) d’atomes. La
famille Π a au plus 2
n ´ el´ ements, donc A a au plus 2
2
n ´ el´ ements.
6. Les dix propri´ et´ es se d´ emontrent de la mˆ eme fa¸ con. Montrons-le pour C 3 :
a) ]a, b] = [a, b] \ [a, a], d’o` u T(C 3 ) ⊂ B
1 .
b) [a, b] =]a, b] ∪
k≥1
]a − 1/k, a]
, d’o` u B
1
⊂ T(C 3 ).
7. Dans cet exercice, d´ enombrable signifie au plus d´ enombrable . La
condition est ´ evidemment suffisante, puisque si Ω est d´ enombrable, alors
T(C) = P(Ω). Pour montrer qu’elle est n´ ecessaire, on introduit la classe A
des ´ el´ ements de P(Ω) constitu´ ee des parties d´ enombrables de Ω, ainsi que
de leurs compl´ ementaires. Une simple v´ erification montre que A est une
tribu. Supposons `
a pr´ esent que T(C) = P(Ω). Il r´ esulte alors de la suite
d’inclusions C ⊂ A ⊂ P(Ω) que T(C) = T(A) = P(Ω). Or puisque A est
une tribu, on a T(A) = A, d’o` u, en d´ efinitive, A = P(Ω). Ainsi toute
partie de Ω est soit d´ enombrable, soit de compl´ ementaire d´ enombrable.
Or ceci ne peut avoir lieu que si Ω est lui-mˆ eme d´ enombrable. Si, en effet,
Ω est non-d´ enombrable, il existe un sous-ensemble A ∈ P(Ω) tel que A et
A
c sont non-d´ enombrables.
8. Prenons pour ensemble fondamental l’ensemble `
a trois ´ el´ ements Ω =
{a, b, c} et d´ esignons par A a (resp. A b , resp. A c ) la tribu engendr´ ee par {a}
(resp. {b}, resp. {c}). Par exemple, A a = {∅, {a}, {b, c}, Ω}. Or l’ensemble
A b ∪ A c n’est pas une tribu, puisqu’il contient bien les ´ el´ ements {b} et {c},
mais non {b, c}. De mˆ eme, les ensembles A c ∪ A a et A a ∪ A b ne sont pas
des tribus, mais la r´ eunion A a ∪ A b ∪ A c en est une.
Chapitre 3
4. Appliquer la formule de Poincar´ e (cf. Proposition 3.1) aux ´ ev` enements
A
c
1 , . . . , A
c
n :
P(A
c
1 ∪ · · · ∪ A
c
n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A
c
i 1 ∩ · · · ∩ A
c
i k
).
D’o` u
1 − P(A 1 ∩ · · · ∩ A n ) =
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· 1 − P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k )
.
=
n
k=1
(−1)
k−1
n
k
−
n
k=1
(−1)
k−1
1≤i 1 <··· P(A i 1 ∪ · · · ∪ A i k ).