SOLUTIONS DES EXERCICES
Chapitre Premier
1. a) AB
c C
c ; b) AB
c C ; c) ABC ; d) A∪B ∪C ; e) A
c BC ∪AB
c C ∪
ABC
c
∪ ABC ; f) AB
c C
c
∪ A
c BC
c
∪ A
c B
c C ∪ A
c B
c C
c ;
g) A
c B
c C
c ; h) A
c BC ∪ AB
c C ∪ ABC
c ; i) (ABC)
c .
2. Consid´ erons les atomes suivants dont la r´ eunion est Ω : ABC, ABC
c ,
AB
c C, [AB
c C
c ], [A
c BC], A
c BC
c , A
c B
c C, A
c B
c C
c . D’apr` es l’´ enonc´ e, les
atomes entre crochets sont vides. On a donc :
a) AC
c = ABC
c
∪ AB
c C
c = ABC
c .
c) B = ABC ∪ ABC
c
∪ A
c BC ∪ A
c BC
c . On voit que AC
c
⊂ B.
6. Consid´ erons les atomes suivants dont la r´ eunion est Ω : EF G, EF G
c ,
EF
c G, EF
c G
c , E
c F G, E
c F G
c , E
c F
c G, E
c F
c G
c . Chacun des ´ ev` enements
A, B peut s’´ ecrire comme r´ eunion disjointe d’atomes : A = EF G∪EF
c G∪
E
c F G, B = EF G ∪ EF G
c
∪ EF
c G ∪ EF
c G
c
∪ E
c F G.
a) On voit que A ⊂ B.
b) On a A = B, si et seulement si EF G
c
∪ EF
c G
c = ∅, i.e. EG
c = ∅, i.e.
E ⊂ G.
Autre d´ emonstration utilisant les fonctions indicatrices :
a) I A = I E∪F I G = (I E + I F − I EF )I G = I EG + I F G − I EF G et I B =
I E + I F G − I EF G . On voit que I A − I B = I EG − I E ≤ 0, car EG ⊂ E ;
donc A ⊂ B.
b) On a A = B, si et seulement si I A − I B = 0, i.e. I EG − I E = 0, i.e.
EG = E, i.e. E ⊂ G.
7. a) A B = A
c B ∪ AB
c et A B
c = A
c B
c
∪ AB. D’o` u le r´ esultat.
b) Consid´ erons la partition de Ω selon les atomes : A
ε 1 B
ε 2 C
ε 3 , ε 1 , ε 2 ,
ε 3 = 0, 1, o` u l’on a pos´ e A
ε ´ egal ` a A ou `
a A
c , suivant que ε = 1 ou 0.
Alors chacun des ´ ev` enements peut s’´ ecrire comme r´ eunion disjointe
d’atomes : AB = A
c BC ∪A
c BC
c
∪AB
c C ∪AB
c C
c ; AC = A
c BC ∪
A
c B
c C ∪ABC
c
∪AB
c C
c ; d’o` u (AB)∩(AC) = A
c BC ∪AB
c C
c . On
voit de fa¸ con analogue que : A (B ∪ C) = A
c BC ∪ A
c BC
c
∪ A
c B
c C ∪
AB
c C
c . On a (A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C) si et seulement si
A
c BC
c
∪ A
c B
c C = ∅, i.e. A
c (B C) = ∅, i.e. B C ⊂ A.
Chapitre 2
2. {∅, {a b}, {c }, {a, b, c } }.
3. b) F 3 = {∅, {a }, {c, d }, {b, e }, {a, b, e }, {a, c, d, }, {b, c, d, e }, Ω }.
d) F 4 = F 2 ∪ F 3 ∪ {{e }, {a, e }, {b, c, d }, {a, b, c, d } }.