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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Posons δ n =
π
4
−
1
π
{X n >0}
Arccos X n dP. La relation P{X n > 0} =
1
2 permet
d’´ ecrire :
δ n =
{X n >0}
π
2
− Arccos X n
dP =
π
2
− Arccos X n
+
dP,
c’est-` a-dire en posant Y n =
π
2 − Arccos X n ,
(8.3) δ n =
Y
+
n dP =
π/2
0
P{Y n > y} dy =
π/2
0
P{X n > sin y} dy.
La relation ´ evidente E[X
2
n ] = 1/n montre que la suite (X n ) converge vers 0
dans L
2 , donc en probabilit´ e. Il r´ esulte alors de (8.3), en vertu du th´ eor` eme
de convergence domin´ ee, que δ n → 0, c’est-` a-dire que
lim
n→∞
{X n >0}
Arccos X n dP =
π
4
et donc
lim
n→∞
p n =
1
2
.
Reste ` a montrer que la suite (p n ) est croissante ou encore que la suite (δ n )
est d´ ecroissante. Or ceci r´ esulte de (8.3) et de la Proposition 7.3 qui affirme
que la suite des fonctions de r´ epartition des variables X n est croissante.
Remarque. — Le probl` eme a encore un sens pour n = 1. La sph` ere
est alors r´ eduite aux deux points d’abscisses −1 et +1 et la condition angle
inf´ erieur `
a π/2 ´ equivaut `
a angle nul . Les trois navettes communiquent
donc si et seulement si elles atterrissent au mˆ eme point. Par suite, p 1 =
2(1/2
3 ) = 1/4 = 0, 25 et la suite (p n ) est bien croissante ` a partir de p 1 :
p 1 = 0, 25, p 2 = 0, 375, p 3 = 0, 409, . . .
Appendice. — Nous donnons, pour terminer, une d´ emonstration des deux
lemmes 8.1
et 8.2 et traitons directement le cas n ≥ 2. Le Lemme 8.1
n’est
autre que la Proposition 7.1. Il suffit donc de d´ emontrer le Lemme 8.2.
D´ emonstration du Lemme 8.2. — On peut supposer u = w. Dans le cas
n = 2, une simple figure montre que le lemme est vrai. Dans le cas n ≥ 3,
d´ esignons par E le plan (sous-espace vectoriel de R
n de dimension 2) engendr´ e
par les deux vecteurs v, w. En outre, d´ esignons par p la projection orthogonale
de R
n sur E. Consid´ erons alors, sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), un
vecteur al´ eatoire M uniform´ ement r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n , posons
J = p ◦ M et d´ esignons par J
∗ le vecteur al´ eatoire norm´ e |J|
−1 J (d´ efini hors
de l’ensemble n´ egligeable {|J| = 0}). La Proposition 7.2 nous apprend que J
∗
est uniform´ ement r´ eparti sur le cercle-unit´ e du plan E (` a deux dimensions).
Or on a :
µ(H w ∩ H −v ) = P{M ∈ H w ∩ H −v } = P{M · w > 0, M · v < 0 }
= P{J · w > 0, J · v < 0} =
α
2π
,
o` u l’´ egalit´ e finale r´ esulte du cas particulier n = 2 d´ ej` a trait´ e.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Posons δ n =
π
4
−
1
π
{X n >0}
Arccos X n dP. La relation P{X n > 0} =
1
2 permet
d’´ ecrire :
δ n =
{X n >0}
π
2
− Arccos X n
dP =
π
2
− Arccos X n
+
dP,
c’est-` a-dire en posant Y n =
π
2 − Arccos X n ,
(8.3) δ n =
Y
+
n dP =
π/2
0
P{Y n > y} dy =
π/2
0
P{X n > sin y} dy.
La relation ´ evidente E[X
2
n ] = 1/n montre que la suite (X n ) converge vers 0
dans L
2 , donc en probabilit´ e. Il r´ esulte alors de (8.3), en vertu du th´ eor` eme
de convergence domin´ ee, que δ n → 0, c’est-` a-dire que
lim
n→∞
{X n >0}
Arccos X n dP =
π
4
et donc
lim
n→∞
p n =
1
2
.
Reste ` a montrer que la suite (p n ) est croissante ou encore que la suite (δ n )
est d´ ecroissante. Or ceci r´ esulte de (8.3) et de la Proposition 7.3 qui affirme
que la suite des fonctions de r´ epartition des variables X n est croissante.
Remarque. — Le probl` eme a encore un sens pour n = 1. La sph` ere
est alors r´ eduite aux deux points d’abscisses −1 et +1 et la condition angle
inf´ erieur `
a π/2 ´ equivaut `
a angle nul . Les trois navettes communiquent
donc si et seulement si elles atterrissent au mˆ eme point. Par suite, p 1 =
2(1/2
3 ) = 1/4 = 0, 25 et la suite (p n ) est bien croissante ` a partir de p 1 :
p 1 = 0, 25, p 2 = 0, 375, p 3 = 0, 409, . . .
Appendice. — Nous donnons, pour terminer, une d´ emonstration des deux
lemmes 8.1
et 8.2 et traitons directement le cas n ≥ 2. Le Lemme 8.1
n’est
autre que la Proposition 7.1. Il suffit donc de d´ emontrer le Lemme 8.2.
D´ emonstration du Lemme 8.2. — On peut supposer u = w. Dans le cas
n = 2, une simple figure montre que le lemme est vrai. Dans le cas n ≥ 3,
d´ esignons par E le plan (sous-espace vectoriel de R
n de dimension 2) engendr´ e
par les deux vecteurs v, w. En outre, d´ esignons par p la projection orthogonale
de R
n sur E. Consid´ erons alors, sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), un
vecteur al´ eatoire M uniform´ ement r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n , posons
J = p ◦ M et d´ esignons par J
∗ le vecteur al´ eatoire norm´ e |J|
−1 J (d´ efini hors
de l’ensemble n´ egligeable {|J| = 0}). La Proposition 7.2 nous apprend que J
∗
est uniform´ ement r´ eparti sur le cercle-unit´ e du plan E (` a deux dimensions).
Or on a :
µ(H w ∩ H −v ) = P{M ∈ H w ∩ H −v } = P{M · w > 0, M · v < 0 }
= P{J · w > 0, J · v < 0} =
α
2π
,
o` u l’´ egalit´ e finale r´ esulte du cas particulier n = 2 d´ ej` a trait´ e.