8. UN PROBL `
EME DE PROBABILIT ´
E G ´
EOM ´
ETRIQUE
279
G´ en´ eralisation. — Le probl` eme pr´ ec´ edent peut ˆ etre g´ en´ eralis´ e en rempla¸ cant R
3 par R
n (n ≥ 2). Le Lemme 8.2 demeure valable tandis que le
Lemme 8.1 doit ˆ etre modifi´ e de la mani` ere suivante.
Lemme 8.1
. — Si un vecteur al´ eatoire V , `
a valeurs dans la sph` ere-unit´ e S
de R
n admet comme loi la r´ epartition uniforme µ, alors, pour tout ´ el´ ement
u ∈ S, la variable al´ eatoire r´ eelle u · V admet comme densit´ e la fonction f
d´ efinie par : f (x) =
c n (1 − x
2 )
(n−3)/2 , si |x| < 1 ;
0,
sinon ;
o` u c n d´ esigne la constante de normalisation c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Pour r´ esoudre le probl` eme g´ en´ eralis´ e, remarquons que l’on a exactement
comme dans le cas n = 3 les ´ evaluations :
P(A ∩ B) =
1
4
;
P(B ∩ C ∩ A
c ) =
1
2π
S
µ(dv)
{v·W >0}
Arccos(v · W ) dP.
(8.2)
Pour calculer cette derni` ere probabilit´ e on utilise le Lemme 8.1
:
P(B ∩ C ∩ A
c ) =
1
2π
1
0
f (t) Arccos t dt
=
1
2π
c n
1
0
(1 − t
2 )
(n−3)/2 Arccos t dt =
1
2π
c n
π/2
O
x sin
n−2 x dx.
On obtient la mˆ eme valeur pour P(C ∩ A ∩ B
c ) et l’on trouve en d´ efinitive :
P(D) =
1
4
+
1
π
c n
π/2
0
x sin
n−2 x dx, avec c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Cas particuliers :
n = 2, c 2 =
1
π
, P(D) =
1
4
+
1
π 2
π/2
0
x dx =
1
4
+
1
8
=
3
8
= 0, 375.
n = 3, c 3 =
1
2
, P(D) =
1
4
+
1
2π
π/2
0
x sin x dx =
1
4
+
1
2π
=
π + 2
4π
≈ 0, 409155.
Comportement asymptotique de la solution. — D´ esignons par p n la
probabilit´ e que trois navettes atterrissant sur la sph` ere unit´ e dans l’espace ` a n
dimensions ( !) communiquent par radio. Nous nous proposons de montrer que
la suite (p n ) est croissante et de calculer sa limite. A cet effet, consid´ erons,
sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), une suite (X n ) (n ≥ 2) de variables
al´ eatoires r´ eelles, o` u X n est la premi` ere composante d’un vecteur al´ eatoire
uniform´ ement r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n . On a alors en vertu de (8.2)
p n =
1
4
+
1
π
{X n >0}
Arccos X n dP.
EME DE PROBABILIT ´
E G ´
EOM ´
ETRIQUE
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G´ en´ eralisation. — Le probl` eme pr´ ec´ edent peut ˆ etre g´ en´ eralis´ e en rempla¸ cant R
3 par R
n (n ≥ 2). Le Lemme 8.2 demeure valable tandis que le
Lemme 8.1 doit ˆ etre modifi´ e de la mani` ere suivante.
Lemme 8.1
. — Si un vecteur al´ eatoire V , `
a valeurs dans la sph` ere-unit´ e S
de R
n admet comme loi la r´ epartition uniforme µ, alors, pour tout ´ el´ ement
u ∈ S, la variable al´ eatoire r´ eelle u · V admet comme densit´ e la fonction f
d´ efinie par : f (x) =
c n (1 − x
2 )
(n−3)/2 , si |x| < 1 ;
0,
sinon ;
o` u c n d´ esigne la constante de normalisation c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Pour r´ esoudre le probl` eme g´ en´ eralis´ e, remarquons que l’on a exactement
comme dans le cas n = 3 les ´ evaluations :
P(A ∩ B) =
1
4
;
P(B ∩ C ∩ A
c ) =
1
2π
S
µ(dv)
{v·W >0}
Arccos(v · W ) dP.
(8.2)
Pour calculer cette derni` ere probabilit´ e on utilise le Lemme 8.1
:
P(B ∩ C ∩ A
c ) =
1
2π
1
0
f (t) Arccos t dt
=
1
2π
c n
1
0
(1 − t
2 )
(n−3)/2 Arccos t dt =
1
2π
c n
π/2
O
x sin
n−2 x dx.
On obtient la mˆ eme valeur pour P(C ∩ A ∩ B
c ) et l’on trouve en d´ efinitive :
P(D) =
1
4
+
1
π
c n
π/2
0
x sin
n−2 x dx, avec c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Cas particuliers :
n = 2, c 2 =
1
π
, P(D) =
1
4
+
1
π 2
π/2
0
x dx =
1
4
+
1
8
=
3
8
= 0, 375.
n = 3, c 3 =
1
2
, P(D) =
1
4
+
1
2π
π/2
0
x sin x dx =
1
4
+
1
2π
=
π + 2
4π
≈ 0, 409155.
Comportement asymptotique de la solution. — D´ esignons par p n la
probabilit´ e que trois navettes atterrissant sur la sph` ere unit´ e dans l’espace ` a n
dimensions ( !) communiquent par radio. Nous nous proposons de montrer que
la suite (p n ) est croissante et de calculer sa limite. A cet effet, consid´ erons,
sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P), une suite (X n ) (n ≥ 2) de variables
al´ eatoires r´ eelles, o` u X n est la premi` ere composante d’un vecteur al´ eatoire
uniform´ ement r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n . On a alors en vertu de (8.2)
p n =
1
4
+
1
π
{X n >0}
Arccos X n dP.