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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
L’´ ev` enement dont on cherche la probabilit´ e est donn´ e par :
D = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ A).
Il peut s’exprimer comme r´ eunion de trois ´ ev` enements deux `
a deux disjoints :
(8.1)
D = (A ∩ B) ∪ (B ∩ C ∩ A
c ) ∪ (C ∩ A ∩ B
c ).
Pour calculer la probabilit´ e de D nous utilisons les deux Lemmes suivants,
dont la d´ emonstration sera donn´ ee dans l’Appendice.
Lemme 8.1. — Si un vecteur al´ eatoire V , `
a valeurs dans S, admet comme
loi la r´ epartition uniforme µ, alors, pour tout ´ el´ ement u ∈ S, la variable
al´ eatoire r´ eelle u · V admet comme loi la r´ epartition uniforme sur l’intervalle
[−1, +1].
Lemme 8.2. — Pout tout ´ el´ ement v ∈ S, d´ esignons par H v l’h´ emisph` ere
ouvert, intersection de la sph` ere S et du demi-espace {u : u · v > 0}. Etant
donn´ e un couple (v, w) d’´ el´ ements de S, tel que v · w > 0, on d´ esigne par
α l’angle form´ e par ces deux vecteurs, soit α = Arccos(v · w). On a alors
µ(H w ∩ H −v ) = α/(2π).
Nous sommes ` a pr´ esent en mesure de calculer la probabilit´ e de D en
utilisant la formule (8.1)
a) D’apr` es le Lemme 8.1 on a :
P(A ∩ B) =
S
µ(dv) P{U · v > 0, v · W > 0} =
1
4
.
b) En utilisant le Lemme 8.2, puis le Lemme 8.1, il vient :
P(B ∩ C ∩ A
c ) = P{V · W > 0, W · U > 0, U · V < 0}
=
S
µ(dv)
H v
µ(dw) P{w · U > 0, U · v < 0}
=
S
µ(dv)
H v
µ(dw) µ(H w ∩ H −v )
=
S
µ(dv)
H v
µ(dw)
1
2π
Arccos(v · w)
=
1
2π
S
µ(dv)
{v·W >0}
Arccos(v · W ) dP
=
1
2π
1
2
1
0
Arccos t dt
=
1
4π
π/2
0
x sin x dx =
1
4π
.
On obtient de mˆ eme P(C ∩ A ∩ B
c ) =
1
4π
, d’o` u
P(D) =
1
4
+
1
4π
+
1
4π
=
π + 2
4π
≈ 0, 409155.