8. UN PROBL `
EME DE PROBABILIT ´
E G ´
EOM ´
ETRIQUE
277
D´ emonstration. — ´
Etant donn´ ee une rotation ρ de E, consid´ erons la
rotation ρ de R
n caract´ eris´ ee par les conditions p ◦ ρ = ρ ◦ p, q ◦ ρ = q. Posons
X
= ρ ◦ X. On a alors
ρ ◦ U
∗ = |p ◦ X
|
−1 p ◦ X
,
V = q ◦ X
.
En outre, X
a mˆ eme loi que X. Il en r´ esulte que le couple (ρ◦U
∗ , V ) a mˆ eme
loi conjointe que le couple (U
∗ , V ). Cela suffit pour conclure.
Proposition 7.3. — Pour tout n ≥ 2 d´ esignons par F n la fonction de
r´ epartition de X 1 . Alors la suite (F n ) est croissante.
D´ emonstration. — Pla¸ cons-nous dans les hypoth` eses de la Proposition 7.2
et prenons pour E l’espace vectoriel engendr´ e par les (n−1) premiers ´ el´ ements
de la base canonique de R
n . La premi` ere composante X 1 de X co¨ ıncide alors
avec la premi` ere composante U 1 de U . D’autre part, U
∗
1 = |U |
−1 U 1 est la
premi` ere composante de U
∗ = |U |
−1 U , qui, d’apr` es la Proposition 7.2, est
uniform´ ement r´ epartie sur la sph` ere-unit´ e de R
n−1 . L’in´ egalit´ e F n−1 ≤ F n
r´ esulte alors du fait que l’on a : X 1 = U 1 ≤ |U |
−1 U 1 = U
∗
1 .
8. Un probl` eme de probabilit´ e g´ eom´ etrique. — Les probabilit´ es
g´ eom´ etriques ´ etaient ` a la mode ` a l’´ epoque o` u le calcul des probabilit´ es
´ etait dans son enfance. Les probl` emes de l’aiguille de Buffon, de la baguette
bris´ ee, . . . ont exerc´ e la sagacit´ e de nombreux math´ ematiciens. Dans ce
paragraphe, nous nous proposons de r´ esoudre un probl` eme qui s’apparente `
a
cette discipline et qui a ´ et´ e pos´ e par Williams.
3
Probl` eme. — Trois navettes spatiales ´ echouent sur une plan` ete aux
points P , Q, R ; ces points sont ind´ ependants et uniform´ ement distribu´ es sur
la surface de la plan` ete (assimil´ ee ` a une sph` ere de centre O et de rayon 1).
Deux navettes communiquent directement par radio si l’angle qu’elles
forment avec le centre 0 de la sph` ere est inf´ erieur `
a
π
2 . Par exemple, P
et Q communiquent directement si
P OQ <
π
2 . Alors la probabilit´ e pour
que les trois navettes communiquent entre elles est ´ egale ` a (π + 2)/(4π). Il
est pr´ ecis´ e que deux navettes peuvent communiquer soit directement, soit
par l’interm´ ediaire de la troisi` eme.
La m´ ethode de r´ esolution que nous utilisons ci-apr` es nous a ´ et´ e fournie
par G. Letta et L. Pratelli.
Notons u · v le produit scalaire des deux vecteurs u, v de R
3 et U · V
celui des deux vecteurs al´ eatoires U , V dans R
3 , puis d´ esignons par S la
sph` ere-unit´ e de R
3 . Sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P) donnons-nous trois
vecteurs al´ eatoires ind´ ependants U , V , W , `
a valeurs dans S, dont chacun
admet comme loi la r´ epartition uniforme µ sur S et posons :
A = {U · V > 0}, B = {V · W > 0}, C = {W · U > 0}.
3 Williams (David). — Probability with martingales. — Cambridge, Cambridge Math.
Textbooks, , exercice EG2, p. 224.
EME DE PROBABILIT ´
E G ´
EOM ´
ETRIQUE
277
D´ emonstration. — ´
Etant donn´ ee une rotation ρ de E, consid´ erons la
rotation ρ de R
n caract´ eris´ ee par les conditions p ◦ ρ = ρ ◦ p, q ◦ ρ = q. Posons
X
= ρ ◦ X. On a alors
ρ ◦ U
∗ = |p ◦ X
|
−1 p ◦ X
,
V = q ◦ X
.
En outre, X
a mˆ eme loi que X. Il en r´ esulte que le couple (ρ◦U
∗ , V ) a mˆ eme
loi conjointe que le couple (U
∗ , V ). Cela suffit pour conclure.
Proposition 7.3. — Pour tout n ≥ 2 d´ esignons par F n la fonction de
r´ epartition de X 1 . Alors la suite (F n ) est croissante.
D´ emonstration. — Pla¸ cons-nous dans les hypoth` eses de la Proposition 7.2
et prenons pour E l’espace vectoriel engendr´ e par les (n−1) premiers ´ el´ ements
de la base canonique de R
n . La premi` ere composante X 1 de X co¨ ıncide alors
avec la premi` ere composante U 1 de U . D’autre part, U
∗
1 = |U |
−1 U 1 est la
premi` ere composante de U
∗ = |U |
−1 U , qui, d’apr` es la Proposition 7.2, est
uniform´ ement r´ epartie sur la sph` ere-unit´ e de R
n−1 . L’in´ egalit´ e F n−1 ≤ F n
r´ esulte alors du fait que l’on a : X 1 = U 1 ≤ |U |
−1 U 1 = U
∗
1 .
8. Un probl` eme de probabilit´ e g´ eom´ etrique. — Les probabilit´ es
g´ eom´ etriques ´ etaient ` a la mode ` a l’´ epoque o` u le calcul des probabilit´ es
´ etait dans son enfance. Les probl` emes de l’aiguille de Buffon, de la baguette
bris´ ee, . . . ont exerc´ e la sagacit´ e de nombreux math´ ematiciens. Dans ce
paragraphe, nous nous proposons de r´ esoudre un probl` eme qui s’apparente `
a
cette discipline et qui a ´ et´ e pos´ e par Williams.
3
Probl` eme. — Trois navettes spatiales ´ echouent sur une plan` ete aux
points P , Q, R ; ces points sont ind´ ependants et uniform´ ement distribu´ es sur
la surface de la plan` ete (assimil´ ee ` a une sph` ere de centre O et de rayon 1).
Deux navettes communiquent directement par radio si l’angle qu’elles
forment avec le centre 0 de la sph` ere est inf´ erieur `
a
π
2 . Par exemple, P
et Q communiquent directement si
P OQ <
π
2 . Alors la probabilit´ e pour
que les trois navettes communiquent entre elles est ´ egale ` a (π + 2)/(4π). Il
est pr´ ecis´ e que deux navettes peuvent communiquer soit directement, soit
par l’interm´ ediaire de la troisi` eme.
La m´ ethode de r´ esolution que nous utilisons ci-apr` es nous a ´ et´ e fournie
par G. Letta et L. Pratelli.
Notons u · v le produit scalaire des deux vecteurs u, v de R
3 et U · V
celui des deux vecteurs al´ eatoires U , V dans R
3 , puis d´ esignons par S la
sph` ere-unit´ e de R
3 . Sur un espace probabilis´ e (Ω, A, P) donnons-nous trois
vecteurs al´ eatoires ind´ ependants U , V , W , `
a valeurs dans S, dont chacun
admet comme loi la r´ epartition uniforme µ sur S et posons :
A = {U · V > 0}, B = {V · W > 0}, C = {W · U > 0}.
3 Williams (David). — Probability with martingales. — Cambridge, Cambridge Math.
Textbooks, , exercice EG2, p. 224.