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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Remarque 2. — Il est clair que la suite (X n ) (n ≥ 0) elle-mˆ eme ne tend
vers une limite, ni presque sˆ urement, ni mˆ eme en probabilit´ e, puisque pour
tout n ≥ 1 on a |X n − X n−1 | = 1.
7. Vecteurs al´ eatoires uniform´ ement r´ epartis sur la sph` ere-unit´ e
de R
n . — Les r´ esultats de ce paragraphe seront utilis´ es dans le probl` eme
de probabilit´ e g´ eom´ etrique ´ etudi´ e ` a la fin de ce chapitre.
Soient n ≥ 2 et X = (X 1 , . . . , X n ) un vecteur al´ eatoire uniform´ ement
r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n . Comme les composantes X 1 , . . . , X n
ont toutes mˆ eme loi de probabilit´ e, nous ´ etudions la loi de probabilit´ e de la
premi` ere composante X 1 .
Proposition 7.1. — La loi de probabilit´ e de X 1 admet une densit´ e f (x),
nulle pour |x| ≥ 1 et qui, pour |x| < 1, est donn´ ee par :
f (x) = c n (1 − x
2 )
(n−3)/2 , o` u c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Pour n = 2 cette loi de probabilit´ e est la loi A 1 de l’Arcsinus et pour n = 3
n’est autre que la distribution uniforme sur ] − 1, +1[.
D´ emonstration. — La loi de X 1 co¨ ıncide avec la projection orthogonale,
sur l’axe 0x 1 , de la masse-unit´ e uniform´ ement r´ epartie sur la sph` ere-unit´ e.
D´ eterminons cette projection. Le volume de la boule B n (0, R) est donn´ e par
V n (R) =
π
n/2
Γ(1 + n/2)
R
n
et l’aire de la sph` ere S n−1 (0, R) par
σ n−1 (R) =
d
dR
V n (R) = 2
π
n/2
Γ(n/2)
R
n−1 .
Prenons R = 1 et projetons la mesure ar´ eolaire port´ ee par S n−1 (0, 1) sur
l’axe 0x 1 . On obtient de la sorte une distribution de masses sur R, de
densit´ e g(x), nulle pour |x| ≥ 1 et qui, pour |x| < 1, est donn´ ee par :
g(x) dx = σ n−2 (
√
1 − x 2 ) ds avec
√
1 − x 2 ds = dx. D’o` u
g(x) = σ n−2 (
1 − x 2 )
1
√
1 − x 2
= 2
π
(n−1)/2
Γ((n − 1)/2)
(1 − x
2 )
(n−3)/2 .
On en d´ eduit la densit´ e norm´ ee f (x) = g(x)/σ n−1 (1), expression qui, apr` es
simplification, est celle de l’´ enonc´ e.
Dans l’´ enonc´ e suivant, E est un sous-espace vectoriel de R
n , de dimension
k ≥ 2. On d´ esigne par E
⊥ son compl´ ement orthogonal et par p, q les
projections orthogonales de R
n sur E, E
⊥ , respectivement. On pose ensuite
U = p ◦ X, V = q ◦ X
et on d´ esigne par U
∗ le vecteur al´ eatoire norm´ e |U |
−1 U (d´ efini hors de
l’ensemble n´ egligeable {|U | = 0}).
Proposition 7.2. — Le vecteur al´ eatoire U
∗ est uniform´ ement r´ eparti
sur la sph` ere-unit´ e de E.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Remarque 2. — Il est clair que la suite (X n ) (n ≥ 0) elle-mˆ eme ne tend
vers une limite, ni presque sˆ urement, ni mˆ eme en probabilit´ e, puisque pour
tout n ≥ 1 on a |X n − X n−1 | = 1.
7. Vecteurs al´ eatoires uniform´ ement r´ epartis sur la sph` ere-unit´ e
de R
n . — Les r´ esultats de ce paragraphe seront utilis´ es dans le probl` eme
de probabilit´ e g´ eom´ etrique ´ etudi´ e ` a la fin de ce chapitre.
Soient n ≥ 2 et X = (X 1 , . . . , X n ) un vecteur al´ eatoire uniform´ ement
r´ eparti sur la sph` ere-unit´ e de R
n . Comme les composantes X 1 , . . . , X n
ont toutes mˆ eme loi de probabilit´ e, nous ´ etudions la loi de probabilit´ e de la
premi` ere composante X 1 .
Proposition 7.1. — La loi de probabilit´ e de X 1 admet une densit´ e f (x),
nulle pour |x| ≥ 1 et qui, pour |x| < 1, est donn´ ee par :
f (x) = c n (1 − x
2 )
(n−3)/2 , o` u c n =
1
√
π
Γ(n/2)
Γ((n − 1)/2)
.
Pour n = 2 cette loi de probabilit´ e est la loi A 1 de l’Arcsinus et pour n = 3
n’est autre que la distribution uniforme sur ] − 1, +1[.
D´ emonstration. — La loi de X 1 co¨ ıncide avec la projection orthogonale,
sur l’axe 0x 1 , de la masse-unit´ e uniform´ ement r´ epartie sur la sph` ere-unit´ e.
D´ eterminons cette projection. Le volume de la boule B n (0, R) est donn´ e par
V n (R) =
π
n/2
Γ(1 + n/2)
R
n
et l’aire de la sph` ere S n−1 (0, R) par
σ n−1 (R) =
d
dR
V n (R) = 2
π
n/2
Γ(n/2)
R
n−1 .
Prenons R = 1 et projetons la mesure ar´ eolaire port´ ee par S n−1 (0, 1) sur
l’axe 0x 1 . On obtient de la sorte une distribution de masses sur R, de
densit´ e g(x), nulle pour |x| ≥ 1 et qui, pour |x| < 1, est donn´ ee par :
g(x) dx = σ n−2 (
√
1 − x 2 ) ds avec
√
1 − x 2 ds = dx. D’o` u
g(x) = σ n−2 (
1 − x 2 )
1
√
1 − x 2
= 2
π
(n−1)/2
Γ((n − 1)/2)
(1 − x
2 )
(n−3)/2 .
On en d´ eduit la densit´ e norm´ ee f (x) = g(x)/σ n−1 (1), expression qui, apr` es
simplification, est celle de l’´ enonc´ e.
Dans l’´ enonc´ e suivant, E est un sous-espace vectoriel de R
n , de dimension
k ≥ 2. On d´ esigne par E
⊥ son compl´ ement orthogonal et par p, q les
projections orthogonales de R
n sur E, E
⊥ , respectivement. On pose ensuite
U = p ◦ X, V = q ◦ X
et on d´ esigne par U
∗ le vecteur al´ eatoire norm´ e |U |
−1 U (d´ efini hors de
l’ensemble n´ egligeable {|U | = 0}).
Proposition 7.2. — Le vecteur al´ eatoire U
∗ est uniform´ ement r´ eparti
sur la sph` ere-unit´ e de E.