6. LE MOD `
ELE DE DIFFUSION D’EHRENFEST
275
(La premi` ere relation est encore valable pour i = 0, de mˆ eme la deuxi` eme
relation est encore valable pour i = a, mais elles donnent toutes deux des
valeurs nulles aux probabilit´ es.)
En notant i → j le fait que p ij > 0, on voit que l’on peut codifier les
transitions en une op´ eration dans le diagramme suivant :
0 −→
←−
1 −→
←− · · ·
−→
←−
a − 1 −→
←−
a
Voici le th´ eor` eme qui donne toute son importance au mod` ele d’Ehrenfest.
Th´ eor` eme 6.1. — On a : E[X n ] −
a
2
=
1 −
2
a
n
E[X 0 ] −
a
2
.
D´ emonstration. — Par d´ efinition de l’esp´ erance math´ ematique conditionnelle on a :
E[X n ] = E[ E[X n | X n−1 ] ]
=
a
i=0
P{X n−1 = i} E[X n | X n−1 = i ].
Or
E[X n | X n−1 = i ] = p i,i−1 × (i − 1) + p i,i+1 × (i + 1)
=
i
a
(i − 1) +
1 −
i
a
(i + 1) =
1 −
2
a
i + 1;
d’o` u
E[X n ] =
1 −
2
a
a
i=0
i P{X n−1 = i} + 1
=
1 −
2
a
E[X n−1 ] + 1,
ou encore
E[X n ] −
a
2
=
1 −
2
a
E[X n−1 ] −
a
2
.
D’o` u le r´ esultat par it´ eration sur n.
Remarque 1. — Il r´ esulte du th´ eor` eme pr´ ec´ edent que, quel que soit E[X 0 ],
la suite de terme g´ en´ eral E[X n ] converge exponentiellement, lorsque n tend
vers l’infini, vers
a
2
, la moiti´ e du nombre total de boules. Le cas o` u X 0 = a,
c’est-` a-dire le cas o` u `
a la date 0 toutes les boules sont dans la boˆ ıte A, est
particuli` erement int´ eressant. Dans ce cas E[X n ] −
a
2
=
1 −
2
a
n a
2
, d’o` u il
r´ esulte que E[X n ] converge en d´ ecroissant et exponentiellement vers
a
2
. Si
l’on assimile les boules aux particules d’un gaz enferm´ e, ` a la date 0, dans la
boˆ ıte A, ce gaz diffuse dans la boˆ ıte B et ` a la longue il y aura en moyenne
autant de particules dans la boˆ ıte A que dans la boˆ ıte B. C’est exactement
ce que le mod` ele d’Ehrenfest montre.