CHAPITRE 6
287
a < 0 ; F Y (y) = P{aX + b ≤ y} = P
X ≥
y − b
a
= 1 − P
X ≤
y − b
a
= 1 − F
y − b
a
− 0
.
6.
La fonction Φ h (x) est croissante (elle est d´ erivable et sa d´ eriv´ ee est
positive). On a d’autre part l’encadrement F(x) ≤ Φ h (x) ≤ F(x + h),
qui montre que lim x→−∞ Φ h (x) = 0 et lim x→+∞ Φ h (x) = 1.
8. a) On a, pour 0 ≤ u ≤ 1, les relations : G(u) = P{U ≤ u} = P{F ◦ X ≤
u} = P{X ≤ F
−1 (u)} = F
F
−1 (u)
= u.
b) En posant h = F
−1 , on a : P{X ≤ x} = P{X ∈] − ∞, x] } =
P{h ◦ U ∈] − ∞, x] } = P{U ∈ h
−1 ( ] − ∞, x] )}. On v´ erifie que
h
−1 ( ] − ∞, x] ) =]0, F(x)], d’o` u P{X ≤ x} = P{U ∈]0, F(x)] } = F(x).
9.
On a, par hypoth` ese, pour tout x, les relations :F(2x) = P{X ≤ 2x} =
P{2X ≤ 2x} = P{X ≤ x} = F(x) ; d’o` u, en it´ erant : F(x) = F(2
n x).
En passant `
a la limite pour n → ∞ , il vient :
F(x) =
F(−∞) = 0, pour x < 0 ;
F(+∞) = 1, pour x > 0.
Comme F est en outre une fonction de r´ epartition, elle est continue `
a
droite ; d’o` u F(0) = 1. On voit que F = H 0 est la fonction de r´ epartition
de ε 0 . De l` a X = 0, presque sˆ urement.
Chapitre 6
2. a) Soit E 1 la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants de chaque
´ ev` enement de C 2 . On v´ erifie facilement que E 1 est une classe monotone. Comme elle contient C 1 , elle contient encore la classe monotone
engendr´ ee M(C 1 ). De l` a M(C 1 ) et C 2 sont deux classes ind´ ependantes.
De la mˆ eme fa¸ con, on d´ emontre que la classe E 2 des ´ ev` enements qui sont
ind´ ependants de chaque ´ ev` enement de M(C 1 ) est une classe monotone ;
elle contient C 2 , donc aussi M(C 2 ). Par suite, M(C 1 ) et M(C 2 ) sont des
classes ind´ ependantes.
b) Il suffit d’observer que, si A est une tribu, on a M(A) = T(A)
(Proposition 7, chap. 2) et d’appliquer la partie a).
3.
P(A) =
1
3 , P(B) =
1
2 , P(AB) =
1
6 . D’o` u P(AB) = P(A)P(B).
5.
´
Ecrivons A ind´ ependant de BC , B ind´ ependant de CA , C
ind´ ependant de AB : P(ABC) = P(A)P(BC) = P(B)P(CA) =
P(C)P(AB), c’est-` a-dire
P(ABC)
P(A)P(B)P(C)
=
P(BC)
P(B)P(C)
=
P(CA)
P(C)P(A)
=
P(AB)
P(A)P(B)
= k. (a)
287
a < 0 ; F Y (y) = P{aX + b ≤ y} = P
X ≥
y − b
a
= 1 − P
X ≤
y − b
a
= 1 − F
y − b
a
− 0
.
6.
La fonction Φ h (x) est croissante (elle est d´ erivable et sa d´ eriv´ ee est
positive). On a d’autre part l’encadrement F(x) ≤ Φ h (x) ≤ F(x + h),
qui montre que lim x→−∞ Φ h (x) = 0 et lim x→+∞ Φ h (x) = 1.
8. a) On a, pour 0 ≤ u ≤ 1, les relations : G(u) = P{U ≤ u} = P{F ◦ X ≤
u} = P{X ≤ F
−1 (u)} = F
F
−1 (u)
= u.
b) En posant h = F
−1 , on a : P{X ≤ x} = P{X ∈] − ∞, x] } =
P{h ◦ U ∈] − ∞, x] } = P{U ∈ h
−1 ( ] − ∞, x] )}. On v´ erifie que
h
−1 ( ] − ∞, x] ) =]0, F(x)], d’o` u P{X ≤ x} = P{U ∈]0, F(x)] } = F(x).
9.
On a, par hypoth` ese, pour tout x, les relations :F(2x) = P{X ≤ 2x} =
P{2X ≤ 2x} = P{X ≤ x} = F(x) ; d’o` u, en it´ erant : F(x) = F(2
n x).
En passant `
a la limite pour n → ∞ , il vient :
F(x) =
F(−∞) = 0, pour x < 0 ;
F(+∞) = 1, pour x > 0.
Comme F est en outre une fonction de r´ epartition, elle est continue `
a
droite ; d’o` u F(0) = 1. On voit que F = H 0 est la fonction de r´ epartition
de ε 0 . De l` a X = 0, presque sˆ urement.
Chapitre 6
2. a) Soit E 1 la classe des ´ ev` enements qui sont ind´ ependants de chaque
´ ev` enement de C 2 . On v´ erifie facilement que E 1 est une classe monotone. Comme elle contient C 1 , elle contient encore la classe monotone
engendr´ ee M(C 1 ). De l` a M(C 1 ) et C 2 sont deux classes ind´ ependantes.
De la mˆ eme fa¸ con, on d´ emontre que la classe E 2 des ´ ev` enements qui sont
ind´ ependants de chaque ´ ev` enement de M(C 1 ) est une classe monotone ;
elle contient C 2 , donc aussi M(C 2 ). Par suite, M(C 1 ) et M(C 2 ) sont des
classes ind´ ependantes.
b) Il suffit d’observer que, si A est une tribu, on a M(A) = T(A)
(Proposition 7, chap. 2) et d’appliquer la partie a).
3.
P(A) =
1
3 , P(B) =
1
2 , P(AB) =
1
6 . D’o` u P(AB) = P(A)P(B).
5.
´
Ecrivons A ind´ ependant de BC , B ind´ ependant de CA , C
ind´ ependant de AB : P(ABC) = P(A)P(BC) = P(B)P(CA) =
P(C)P(AB), c’est-` a-dire
P(ABC)
P(A)P(B)P(C)
=
P(BC)
P(B)P(C)
=
P(CA)
P(C)P(A)
=
P(AB)
P(A)P(B)
= k. (a)