5. UNE APPLICATION DE LA FORMULE DE BERNSTEIN
273
En utilisant le mˆ eme calcul que dans la d´ emonstration du Th´ eor` eme 4.1.1 on
en d´ eduit :
G(y) =
1
Log 2
k≥1
Log
1 +
y
k
− Log
1 +
y
k + 1
=
1
Log 2
Log(1 + y).
On constate que G(y) = F 1 (y) donn´ ee dans le Th´ eor` eme 4.1.1. On peut donc
appliquer ce dernier th´ eor` eme ` a Y et ainsi d´ evelopper Y en fraction continue
[0; Q 1 , Q 2 , . . . ]. On constate, en comparant (4.1.5) et (4.2.5) que les quotients
partiels Q 0 , Q 1 , Q 2 , . . . ont la mˆ eme loi.
Remarque. — Il est tout `
a fait remarquable de trouver cette mˆ eme
distribution pour tous les quotients partiels d’une fraction continue. Les
d´ emonstrations des deux th´ eor` emes ne sont que de simples v´ erifications. Le
plus difficile ´ etait d’imaginer des lois F 1 et F 2 qui convenaient. Nous sommes
ici redevables du grand talent de Gauss.
5. Une application de la formule de Bernstein. — Une urne contient
n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n (n ≥ 1). On proc` ede ` a une suite de tirages avec
remise et l’on se propose d’´ etudier le nombre X de tirages n´ ecessaires pour
amener, pour la premi` ere fois, une boule d´ ej` a tir´ ee. Comme toute suite de
longueur (n+1) dont les termes sont pris dans {1, 2, . . . , n} contient au moins
deux termes qui sont ´ egaux (principe des tiroirs), la variable al´ eatoire X est
` a valeurs dans {2, . . . , n + 1 }.
On peut prendre comme ensemble fondamental Ω l’ensemble de toutes
les suites de longueur (n + 1) dont les termes sont pris dans {1, 2, . . . , n} et
l’´ equir´ epartition sur Ω. L’´ ev` enement {X > k} (k = 1, . . . , n) est identifi´ e
au sous-ensemble de Ω de toutes les suites dont les k premiers termes sont
distincts. Son cardinal est ´ evidemment (n!/(n − k)! )n
n+1−k . On a donc
P{X > k} =
n!
(n − k)!
n
n+1−k
1
n n+1 =
1
n k
n!
(n − k)!
,
k ∈ {1, . . . , n}.
Puisque P{X > 0} = 1, cette formule est encore vraie pour k = 0. C’est la
fonction de fiabilit´ e de X. La loi de probabilit´ e de X vaut
P{X = k} = P{X > k − 1} − P{X > k} = (k − 1)
n!
n k (n − k + 1)!
,
k ∈ {2, . . . , n + 1}.
Son esp´ erance math´ ematique est ´ egale ` a
E[X] =
k≥0
P{X > k} = n!
n
k=0
1
n k (n − k)!
,
une expression qu’on peut r´ ecrire, en posant n − k = j,
E[X] =
n!
n n
n
j=0
n
j
j!
.
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En utilisant le mˆ eme calcul que dans la d´ emonstration du Th´ eor` eme 4.1.1 on
en d´ eduit :
G(y) =
1
Log 2
k≥1
Log
1 +
y
k
− Log
1 +
y
k + 1
=
1
Log 2
Log(1 + y).
On constate que G(y) = F 1 (y) donn´ ee dans le Th´ eor` eme 4.1.1. On peut donc
appliquer ce dernier th´ eor` eme ` a Y et ainsi d´ evelopper Y en fraction continue
[0; Q 1 , Q 2 , . . . ]. On constate, en comparant (4.1.5) et (4.2.5) que les quotients
partiels Q 0 , Q 1 , Q 2 , . . . ont la mˆ eme loi.
Remarque. — Il est tout `
a fait remarquable de trouver cette mˆ eme
distribution pour tous les quotients partiels d’une fraction continue. Les
d´ emonstrations des deux th´ eor` emes ne sont que de simples v´ erifications. Le
plus difficile ´ etait d’imaginer des lois F 1 et F 2 qui convenaient. Nous sommes
ici redevables du grand talent de Gauss.
5. Une application de la formule de Bernstein. — Une urne contient
n boules num´ erot´ ees de 1 ` a n (n ≥ 1). On proc` ede ` a une suite de tirages avec
remise et l’on se propose d’´ etudier le nombre X de tirages n´ ecessaires pour
amener, pour la premi` ere fois, une boule d´ ej` a tir´ ee. Comme toute suite de
longueur (n+1) dont les termes sont pris dans {1, 2, . . . , n} contient au moins
deux termes qui sont ´ egaux (principe des tiroirs), la variable al´ eatoire X est
` a valeurs dans {2, . . . , n + 1 }.
On peut prendre comme ensemble fondamental Ω l’ensemble de toutes
les suites de longueur (n + 1) dont les termes sont pris dans {1, 2, . . . , n} et
l’´ equir´ epartition sur Ω. L’´ ev` enement {X > k} (k = 1, . . . , n) est identifi´ e
au sous-ensemble de Ω de toutes les suites dont les k premiers termes sont
distincts. Son cardinal est ´ evidemment (n!/(n − k)! )n
n+1−k . On a donc
P{X > k} =
n!
(n − k)!
n
n+1−k
1
n n+1 =
1
n k
n!
(n − k)!
,
k ∈ {1, . . . , n}.
Puisque P{X > 0} = 1, cette formule est encore vraie pour k = 0. C’est la
fonction de fiabilit´ e de X. La loi de probabilit´ e de X vaut
P{X = k} = P{X > k − 1} − P{X > k} = (k − 1)
n!
n k (n − k + 1)!
,
k ∈ {2, . . . , n + 1}.
Son esp´ erance math´ ematique est ´ egale ` a
E[X] =
k≥0
P{X > k} = n!
n
k=0
1
n k (n − k)!
,
une expression qu’on peut r´ ecrire, en posant n − k = j,
E[X] =
n!
n n
n
j=0
n
j
j!
.