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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
4.2. Variable al´ eatoire `
a valeurs dans ]1, +∞[. — Supposons maintenant
que X soit ` a valeurs dans ]1, +∞[, de loi diffuse, de fonction de r´ epartition F.
Avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1 on peut d´ evelopper X en fraction continue
infinie :
X = [Q 0 ; Q 1 , Q 2 , . . . ].
Ici Q 0 est ´ egal ` a la partie enti` ere de X, donc Q 0 ∈ N
∗ et la diff´ erence X − Q 0 ,
que nous posons ´ egale ` a Y , est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans ]0, 1[.
Pour tout k ∈ N
∗ et tout y ∈]0, 1[ on a :
{Q 0 = k, Y ≤ y} = {k ≤ X < k + 1, X − k ≤ y} = {k ≤ X ≤ k + y}.
On en d´ eduit la loi de probabilit´ e conjointe de (Q 0 , Y )
h(k, y) = P{Q 0 = k, Y ≤ y} = F(k + y) − F(k),
puis les lois marginales :
π(k) = P{Q 0 = k} = h(k, 1) = F(k + 1) − F(k);
(4.2.1)
r(k) =
n≥k
π(n) = P{Q 0 ≥ k} = 1 − F(k);
(4.2.2)
G(y) = P{Y ≤ y} =
k≥1
h(k, y) =
k≥1
F(k + y) − F(k)
.
(4.2.3)
Ces calculs permettent d’obtenir un r´ esultat analogue au r´ esultat ´ enonc´ e
dans le Th´ eor` eme 4.1.1.
Th´ eor` eme 4.2.1 (Gauss). — Soit F 2 la fonction de r´ epartition d´ efinie
par
(4.2.4)
1 − F 2 (x) =



1,
si x ≤ 1 ;
1
Log 2
Log
1 +
1
x
, si x > 1.
Si X est une variable al´ eatoire admettant F 2 pour fonction de r´ epartition,
alors les quotients partiels Q 0 , Q 1 , Q 2 , . . . de son d´ eveloppement en fraction
continue sont identiquement distribu´ es. Leur loi commune est donn´ ee par :
P{Q 0 ≥ k} =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
(k = 1, 2, . . . ).
D´ emonstration. — Comme pour le pr´ ec´ edent th´ eor` eme, on remplace la
fonction F qui apparaˆ ıt dans les formules (4.2.1)—(4.2.3) par la fonction F 2
donn´ ee en (4.2.4). On obtient pour k ∈ N
∗ et y > 1 les formules :
π(k) =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
− Log
1 +
1
k + 1
;
r(k) = P{Q 0 ≥ k} =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
;
(4.2.5)
G(y) = P{Y ≤ y} =
1
Log 2
k≥1
Log
1 +
1
k
− Log
1 +
1
k + y
.