4. FRACTIONS CONTINUES
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On en d´ eduit les lois marginales :
π(k) = P{Q 1 = k} = h(k, 1) = F
1
k
− F
1
k + 1
;
(4.1.1)
r(k) =
n≥k
π(n) = P{Q 1 ≥ k} = F
1
k
;
(4.1.2)
G(y) = P{Y ≤ y} =
k≥1
h(k, y) =
k≥1
F
1
k
− F
1
k + y
.
(4.1.3)
Th´ eor` eme 4.1.1 (Gauss). — Soit F 1 la fonction de r´ epartition d´ efinie
par
(4.1.4)
F 1 (x) =

  
  
0,
si x ≤ 0 ;
1
Log 2
Log(1 + x), si 0 < x < 1 ;
1,
si x ≥ 1.
Si X est une variable al´ eatoire admettant F 1 pour fonction de r´ epartition,
alors les quotients partiels Q 1 , Q 2 , . . . de son d´ eveloppement en fraction
continue sont identiquement distribu´ es. Leur loi commune est donn´ ee par :
P{Q 1 ≥ k} =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
(k = 1, 2, . . . ).
D´ emonstration. — Substituons l’expression de F 1 donn´ ee par (4.1.4) `
a F
dans les formules (4.1.1)—(4.1.3). On obtient pour k ∈ N
∗ et y ∈]0, 1[ les
expressions :
π(k) = P{Q 1 = k} =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
− Log
1 +
1
k + 1
;
r(k) = P{Q 1 ≥ k} =
1
Log 2
Log
1 +
1
k
;
(4.1.5)
G(y) =
1
Log 2
k≥1
Log
1 +
1
k
− Log
1 +
1
k + y
=
1
Log 2
k≥1
Log
1 +
y
k
− Log
1 +
y
k + 1
=
1
Log 2
Log(1 + y).
On constate que G(y) = F 1 (y) : la variable al´ eatoire Y a mˆ eme loi que X.
On effectue alors sur Y la mˆ eme op´ eration que sur X en introduisant le
deuxi` eme quotient partiel Q 2 . Il admet donc la mˆ eme loi que Q 1 . On peut
ainsi continuer pour tous les autres quotients partiels.