270
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
On d´ emontre (op. cit.) que pour tout nombre rationnel r il existe exactement
deux fractions continues finies de valeur r. On d´ emontre encore (op. cit.) que
pour tout nombre irrationnel x il existe une fraction continue infinie unique
ayant pour valeur x.
Autrement dit `
a tout nombre irrationnel x correspond une suite unique
(q n ) (n ≥ 0) de nombres entiers strictement positifs telle que l’identit´ e (4.2)
soit satisfaite.
Du fait de l’unicit´ e du d´ eveloppement de x en fraction continue, on a les
propri´ et´ es suivantes :
(4.3)
0 < x < 1 ⇒ q 0 = 0 et q 1 = partie enti` ere de
1
x
.
Dans ce paragraphe, partant d’un nombre x suppos´ e ˆ etre la r´ ealisation
d’une variable al´ eatoire X (dans une ´ epreuve ω), nous donnons explicitement
une loi de probabilit´ e de X telle que les diff´ erents quotients partiels q 1 , q 2 ,
. . . soient les r´ ealisations de variables al´ eatoires Q 1 , Q 2 , . . . ayant toutes une
loi commune. Nous distinguons deux cas, suivant que la variable al´ eatoire X
est ` a valeurs dans ]0, 1[ ou dans ]1, +∞[.
4.1. Variable al´ eatoire `
a valeurs dans ]0, 1[. — Consid´ erons une variable
al´ eatoire X ` a valeurs dans ]0, 1[, de loi diffuse et de fonction de r´ epartition F.
La probabilit´ e pour qu’elle prenne une valeur dans Q est nulle. On peut donc,
avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1, la d´ evelopper en fraction continue infinie :
X =
1
Q 1 +
1
Q 2 +
1
. . .
= [0, Q 1 , Q 2 , . . . ],
o` u les quotients partiels Q 1 , Q 2 , . . . sont des variables al´ eatoires ` a valeurs
dans N
∗ = {1, 2, . . . }.
D’apr` es (4.3), Q 1 est ´ egal ` a la partie enti` ere de 1/X. Par cons´ equent, la
diff´ erence 1/X − Q 1 est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans ]0, 1[, not´ ee Y .
Exprimons d’abord la loi de probabilit´ e conjointe de (Q 1 , Y ) en fonction de F.
Pour tout entier k ≥ 1 et tout y ∈]0, 1[ on a :
{Q 1 = k, Y ≤ y} = {k ≤
1
X
< k + 1,
1
X
− k ≤ y}
= {k ≤
1
X
≤ k + y} = {
1
k + y
≤ X ≤
1
k
}.
D’o` u la loi de probabilit´ e conjointe de (Q 1 , Y ) :
h(k, y) = P{Q 1 = k, Y ≤ y} = F
1
k
− F
1
k + y
.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
On d´ emontre (op. cit.) que pour tout nombre rationnel r il existe exactement
deux fractions continues finies de valeur r. On d´ emontre encore (op. cit.) que
pour tout nombre irrationnel x il existe une fraction continue infinie unique
ayant pour valeur x.
Autrement dit `
a tout nombre irrationnel x correspond une suite unique
(q n ) (n ≥ 0) de nombres entiers strictement positifs telle que l’identit´ e (4.2)
soit satisfaite.
Du fait de l’unicit´ e du d´ eveloppement de x en fraction continue, on a les
propri´ et´ es suivantes :
(4.3)
0 < x < 1 ⇒ q 0 = 0 et q 1 = partie enti` ere de
1
x
.
Dans ce paragraphe, partant d’un nombre x suppos´ e ˆ etre la r´ ealisation
d’une variable al´ eatoire X (dans une ´ epreuve ω), nous donnons explicitement
une loi de probabilit´ e de X telle que les diff´ erents quotients partiels q 1 , q 2 ,
. . . soient les r´ ealisations de variables al´ eatoires Q 1 , Q 2 , . . . ayant toutes une
loi commune. Nous distinguons deux cas, suivant que la variable al´ eatoire X
est ` a valeurs dans ]0, 1[ ou dans ]1, +∞[.
4.1. Variable al´ eatoire `
a valeurs dans ]0, 1[. — Consid´ erons une variable
al´ eatoire X ` a valeurs dans ]0, 1[, de loi diffuse et de fonction de r´ epartition F.
La probabilit´ e pour qu’elle prenne une valeur dans Q est nulle. On peut donc,
avec une probabilit´ e ´ egale ` a 1, la d´ evelopper en fraction continue infinie :
X =
1
Q 1 +
1
Q 2 +
1
. . .
= [0, Q 1 , Q 2 , . . . ],
o` u les quotients partiels Q 1 , Q 2 , . . . sont des variables al´ eatoires ` a valeurs
dans N
∗ = {1, 2, . . . }.
D’apr` es (4.3), Q 1 est ´ egal ` a la partie enti` ere de 1/X. Par cons´ equent, la
diff´ erence 1/X − Q 1 est une variable al´ eatoire ` a valeurs dans ]0, 1[, not´ ee Y .
Exprimons d’abord la loi de probabilit´ e conjointe de (Q 1 , Y ) en fonction de F.
Pour tout entier k ≥ 1 et tout y ∈]0, 1[ on a :
{Q 1 = k, Y ≤ y} = {k ≤
1
X
< k + 1,
1
X
− k ≤ y}
= {k ≤
1
X
≤ k + y} = {
1
k + y
≤ X ≤
1
k
}.
D’o` u la loi de probabilit´ e conjointe de (Q 1 , Y ) :
h(k, y) = P{Q 1 = k, Y ≤ y} = F
1
k
− F
1
k + y
.