4. FRACTIONS CONTINUES
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Remarque. — Le fait que la suite de terme g´ en´ eral Z n converge presque sˆ urement peut ˆ etre d´ eduit de la th´ eorie des martingales. En effet
(V 0 , V 1 , . . . , V n ) est un syst` eme de (n + 1) variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees, ` a valeurs positives et d’esp´ erance math´ ematique
´ egale `
a 1. La suite de terme g´ en´ eral Z n = V 0 V 1 · · · V n v´ erifie alors trivialement les propri´ et´ es : E[Z n ] = 1, E[Z n | Z 0 , Z 1 , . . . , Z n−1 ] = Z n−1 (n ≥ 1).
C’est la d´ efinition-mˆ eme d’une martingale positive. Or un th´ eor` eme classique
affirme que cette martingale converge presque sˆ urement vers 0, sauf dans le
cas banal o` u les termes de la suite dont on prend les produits partiels sont
presque sˆ urement ´ egaux `
a la constante 1.
1
4. Fractions continues. — Soit (q n ) (0 ≤ n ≤ N ) (resp. (q n ) (n ≥ 0))
une suite finie (resp. infinie) d’entiers tels que q 0 ≥ 0 et tels que q n ≥ 1 pour
tout n = 1, 2, . . . , N (resp. pour tout n ≥ 1). Pour tout n tel que 0 ≤ n ≤ N
(resp. pour tout n ≥ 1) le nombre rationnel [q 0 ; q 1 , . . . , q n ] d´ efini par
(4.1)
[q 0 ; q 1 , . . . , q n ] = q 0 +
1
q 1 +
1
. . .
+
1
q n
,
est appel´ e convergent d’ordre n de la suite (q n ) (0 ≤ n ≤ N ) (resp. de la suite
(q n ) (n ≥ 0)). On dit que la suite form´ ee par ces convergents est une fraction
continue finie ou une fraction continue (infinie), suivant que la suite initiale
des q n est finie ou infinie. Les nombres entiers q 0 , q 1 , q 2 , . . . s’appellent les
quotients partiels de la fraction continue.
La valeur d’une fraction continue finie est d´ efinie comme son convergent
de plus grand ordre, soit [q 0 ; q 1 , . . . , q N ] avec les notations pr´ ec´ edentes. On
d´ emontre (voir, par exemple, Hardy et Wright,
2 chap. 10) que la suite des
convergents d’une fraction continue infinie converge vers une limite, disons x.
On dit alors que la fraction continue a pour valeur x. Il est coutumier de
repr´ esenter la valeur x comme [q 0 ; q 1 , q 2 , . . . ], ou comme
(4.2)
x = q 0 +
1
q 1 +
1
. . .
q n +
1
q n+1 +
1
. . .
1 Voir, par exemple, Neveu (Jacques). — Martingales ` a temps discret. — Paris, Masson,
.
2 Hardy (G.H.) and Wright (E.M.). — An introduction to the theory of numbers.
Oxford Univ. Press, new edition . L’ouvrage publi´ e pour la premi` ere fois en
a eu de multiples r´ e´ editions et reste un grand classique.
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Remarque. — Le fait que la suite de terme g´ en´ eral Z n converge presque sˆ urement peut ˆ etre d´ eduit de la th´ eorie des martingales. En effet
(V 0 , V 1 , . . . , V n ) est un syst` eme de (n + 1) variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees, ` a valeurs positives et d’esp´ erance math´ ematique
´ egale `
a 1. La suite de terme g´ en´ eral Z n = V 0 V 1 · · · V n v´ erifie alors trivialement les propri´ et´ es : E[Z n ] = 1, E[Z n | Z 0 , Z 1 , . . . , Z n−1 ] = Z n−1 (n ≥ 1).
C’est la d´ efinition-mˆ eme d’une martingale positive. Or un th´ eor` eme classique
affirme que cette martingale converge presque sˆ urement vers 0, sauf dans le
cas banal o` u les termes de la suite dont on prend les produits partiels sont
presque sˆ urement ´ egaux `
a la constante 1.
1
4. Fractions continues. — Soit (q n ) (0 ≤ n ≤ N ) (resp. (q n ) (n ≥ 0))
une suite finie (resp. infinie) d’entiers tels que q 0 ≥ 0 et tels que q n ≥ 1 pour
tout n = 1, 2, . . . , N (resp. pour tout n ≥ 1). Pour tout n tel que 0 ≤ n ≤ N
(resp. pour tout n ≥ 1) le nombre rationnel [q 0 ; q 1 , . . . , q n ] d´ efini par
(4.1)
[q 0 ; q 1 , . . . , q n ] = q 0 +
1
q 1 +
1
. . .
+
1
q n
,
est appel´ e convergent d’ordre n de la suite (q n ) (0 ≤ n ≤ N ) (resp. de la suite
(q n ) (n ≥ 0)). On dit que la suite form´ ee par ces convergents est une fraction
continue finie ou une fraction continue (infinie), suivant que la suite initiale
des q n est finie ou infinie. Les nombres entiers q 0 , q 1 , q 2 , . . . s’appellent les
quotients partiels de la fraction continue.
La valeur d’une fraction continue finie est d´ efinie comme son convergent
de plus grand ordre, soit [q 0 ; q 1 , . . . , q N ] avec les notations pr´ ec´ edentes. On
d´ emontre (voir, par exemple, Hardy et Wright,
2 chap. 10) que la suite des
convergents d’une fraction continue infinie converge vers une limite, disons x.
On dit alors que la fraction continue a pour valeur x. Il est coutumier de
repr´ esenter la valeur x comme [q 0 ; q 1 , q 2 , . . . ], ou comme
(4.2)
x = q 0 +
1
q 1 +
1
. . .
q n +
1
q n+1 +
1
. . .
1 Voir, par exemple, Neveu (Jacques). — Martingales ` a temps discret. — Paris, Masson,
.
2 Hardy (G.H.) and Wright (E.M.). — An introduction to the theory of numbers.
Oxford Univ. Press, new edition . L’ouvrage publi´ e pour la premi` ere fois en
a eu de multiples r´ e´ editions et reste un grand classique.