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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
d’o` u la densit´ e conjointe de (Y 0 , Y 1 , Y 2 ) :
f (Y 0 ,Y 1 ,Y 2 ) (y 0 , y 1 , y 2 ) = f Y 0 (y 0 ) f Y 1 | Y 0 (y 1 | y 0 ) f Y 2 | Y 1 ,Y 0 (y 2 | y 1 , y 0 )
=
1
y 0 y 1
I ]0,1] (y 0 ) I ]0,1]
y 1
y 0
I ]0,1]
y 2
y 1
.
Pour obtenir la densit´ e conjointe de (U 0 , U 1 , U 2 ) on fait le changement de
variables u 0 = y 0 , u 1 = y 1 /y 0 , u 2 = y 2 /y 1 . Les variables u 0 , u 1 , u 2 sont
toutes comprises entre 0 et 1 et l’on a : y 0 = u 0 , y 1 = u 0 u 1 , y 2 = u 0 u 1 u 2 . Le
jacobien de cette derni` ere transformation est donn´ ee par
J =
D(y 0 , y 1 , y 2 )
D(u 0 , u 1 , u 2 )
= u
2
0 u 1 .
Par suite la densit´ e conjointe de (U 0 , U 1 , U 2 ) est donn´ ee par :
g (U 0 ,U 1 ,U 2 ) (u 0 , u 1 , u 2 ) = f (Y 0 ,Y 1 ,Y 2 ) (y 0 , y 1 , y 2 ) |J|
=
1
u 2
0 u 1
I ]0,1] (u 0 ) I ]0,1] (u 1 ) I ]0,1] (u 2 ) u
2
0 u 1
= I ]0,1] (u 0 ) I ]0,1] (u 1 ) I ]0,1] (u 2 ).
Il r´ esulte de la pr´ ec´ edente proposition que pour tout r > 0 la variable
al´ eatoire Y n admet un moment d’ordre r donn´ e par
E[Y
r
n ] =
n
k=0
E[U
r
k ] =
E[U
r
0 ]
n+1 =
1
(r + 1) n+1 .
Proposition 3.2
a) Y n → 0 en moyenne d’ordre r > 0, donc en probabilit´ e.
b) Y n
p.s.
−→ 0.
D´ emonstration. — La premi` ere assertion r´ esulte du fait que 1/(r + 1)
n+1
tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Quant `
a la seconde, on note que la
s´ erie de terme g´ en´ eral 1/(r + 1)
n+1 est convergente. Le r´ esultat en d´ ecoule
en vertu de la Proposition 4.4 du chapitre 16.
En fait, on peut d´ emontrer un r´ esultat encore plus fort `
a savoir que Y n =
o(1/2
n+1 ) presque sˆ urement, comme il r´ esulte de la proposition suivante.
Proposition 3.3. — La suite de terme g´ en´ eral Z n = 2
n+1 Y n converge
presque sˆ urement vers 0.
D´ emonstration. — Posons V k = 2 U k (k = 0, . . . , n). Alors (V 0 , V 1 , . . . , V n )
est un syst` eme de (n+1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, dont chacune est
uniform´ ement distribu´ ee sur [0, 2]. On a donc Z n = 2
n+1 Y n = V 0 V 1 · · · V n ,
d’o` u E[Z
1/2
n ] =
n
k=0
E[V
1/2
k
] = ( E[V
1/2
0
] )
n+1 . Or E[V
1/2
0
] =
1
2
2
0
√
x dx =
2
√
2/3 = a < 1. On en d´ eduit que la s´ erie de terme g´ en´ eral E[Z
1/2
n ] = a
n+1
est convergente. La Proposition 4.4 du chapitre 16, appliqu´ ee ` a r =
1
2 permet
de conclure.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
d’o` u la densit´ e conjointe de (Y 0 , Y 1 , Y 2 ) :
f (Y 0 ,Y 1 ,Y 2 ) (y 0 , y 1 , y 2 ) = f Y 0 (y 0 ) f Y 1 | Y 0 (y 1 | y 0 ) f Y 2 | Y 1 ,Y 0 (y 2 | y 1 , y 0 )
=
1
y 0 y 1
I ]0,1] (y 0 ) I ]0,1]
y 1
y 0
I ]0,1]
y 2
y 1
.
Pour obtenir la densit´ e conjointe de (U 0 , U 1 , U 2 ) on fait le changement de
variables u 0 = y 0 , u 1 = y 1 /y 0 , u 2 = y 2 /y 1 . Les variables u 0 , u 1 , u 2 sont
toutes comprises entre 0 et 1 et l’on a : y 0 = u 0 , y 1 = u 0 u 1 , y 2 = u 0 u 1 u 2 . Le
jacobien de cette derni` ere transformation est donn´ ee par
J =
D(y 0 , y 1 , y 2 )
D(u 0 , u 1 , u 2 )
= u
2
0 u 1 .
Par suite la densit´ e conjointe de (U 0 , U 1 , U 2 ) est donn´ ee par :
g (U 0 ,U 1 ,U 2 ) (u 0 , u 1 , u 2 ) = f (Y 0 ,Y 1 ,Y 2 ) (y 0 , y 1 , y 2 ) |J|
=
1
u 2
0 u 1
I ]0,1] (u 0 ) I ]0,1] (u 1 ) I ]0,1] (u 2 ) u
2
0 u 1
= I ]0,1] (u 0 ) I ]0,1] (u 1 ) I ]0,1] (u 2 ).
Il r´ esulte de la pr´ ec´ edente proposition que pour tout r > 0 la variable
al´ eatoire Y n admet un moment d’ordre r donn´ e par
E[Y
r
n ] =
n
k=0
E[U
r
k ] =
E[U
r
0 ]
n+1 =
1
(r + 1) n+1 .
Proposition 3.2
a) Y n → 0 en moyenne d’ordre r > 0, donc en probabilit´ e.
b) Y n
p.s.
−→ 0.
D´ emonstration. — La premi` ere assertion r´ esulte du fait que 1/(r + 1)
n+1
tend vers 0 quand n tend vers l’infini. Quant `
a la seconde, on note que la
s´ erie de terme g´ en´ eral 1/(r + 1)
n+1 est convergente. Le r´ esultat en d´ ecoule
en vertu de la Proposition 4.4 du chapitre 16.
En fait, on peut d´ emontrer un r´ esultat encore plus fort `
a savoir que Y n =
o(1/2
n+1 ) presque sˆ urement, comme il r´ esulte de la proposition suivante.
Proposition 3.3. — La suite de terme g´ en´ eral Z n = 2
n+1 Y n converge
presque sˆ urement vers 0.
D´ emonstration. — Posons V k = 2 U k (k = 0, . . . , n). Alors (V 0 , V 1 , . . . , V n )
est un syst` eme de (n+1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, dont chacune est
uniform´ ement distribu´ ee sur [0, 2]. On a donc Z n = 2
n+1 Y n = V 0 V 1 · · · V n ,
d’o` u E[Z
1/2
n ] =
n
k=0
E[V
1/2
k
] = ( E[V
1/2
0
] )
n+1 . Or E[V
1/2
0
] =
1
2
2
0
√
x dx =
2
√
2/3 = a < 1. On en d´ eduit que la s´ erie de terme g´ en´ eral E[Z
1/2
n ] = a
n+1
est convergente. La Proposition 4.4 du chapitre 16, appliqu´ ee ` a r =
1
2 permet
de conclure.