3. ACHEMINEMENT DU COURRIER PAR VOIE HI ´
ERARCHIQUE
267
3. Acheminement du courrier par voie hi´ erarchique. — Un fonctionnaire re¸ coit une lettre qui doit ˆ etre achemin´ ee au ministre par voie hi´ erarchique. Il est imp´ eratif que la lettre parvienne au ministre avant 1 heure,
apr` es avoir transit´ e par les n ´ echelons r` eglementaires E 1 , . . . , E n . Le dernier
´ echelon E n symbolise le bureau du ministre. On fait les hypoth` eses suivantes :
a) La lettre parvient au fonctionnaire de base, `
a l’´ echelon E 0 , `
a une date
uniform´ ement r´ epartie entre 0 heure et 1 heure.
b) La lettre est transmise imm´ ediatement ` a l’´ echelon E 1 (on convient
que l’apposition de la signature du fonctionnaire et l’envoi physique de la
lettre sont instantan´ es) et y parvient `
a une date uniform´ ement r´ epartie entre
l’instant o` u elle a ´ et´ e envoy´ ee de l’´ echelon E 0 et 1 heure.
c) Pour tout k = 1, . . . , (n − 1) le fonctionnaire `
a l’´ echelon E k transmet
la lettre `
a l’´ echelon E k+1 et la lettre y parvient `
a une date uniform´ ement
r´ epartie entre l’instant o` u elle quitte l’´ echelon E k et 1 heure.
On d´ esigne par X 0 la date `
a laquelle la lettre parvient `
a l’´ echelon E 0 et
par X 1 , . . . , X n les dates auxquelles elle parvient aux ´ echelons E 1 , . . . , E n .
On se propose d’´ etudier la loi de probabilit´ e de X n .
Dans ce mod` ele, on impose que la lettre parvienne au ministre avant
1 heure, de sorte que X n < 1. On pose : Y n = 1 − X n > 0. Les fonctionnaires
situ´ es aux ´ echelons ´ elev´ es vont disposer de moins en moins de temps pour
faire transiter la lettre `
a l’´ echelon sup´ erieur. C’est la ran¸ con du pouvoir !
Proposition 3.1. — La variable al´ eatoire Y n = 1 − X n admet la
repr´ esentation suivante :
Y n = U 0 U 1 · · · U n ,
o` u (U 0 , U 1 , . . . , U n ) est un syst` eme de (n + 1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune ´ etant uniform´ ement r´ epartie sur l’intervalle ]0, 1].
La loi de Y n est explicitement donn´ ee dans l’exercice 8 du chapitre 15.
D´ emonstration. — Posons Y k = 1 − X k (k = 0, 1, . . . , n). On a par
d´ efinition : 0 < Y n ≤ Y n−1 ≤ · · · ≤ Y 1 ≤ Y 0 ≤ 1. Introduisons les
variables al´ eatoires U 0 = Y 0 , U 1 = Y 1 /Y 0 , . . . , U n = Y n /Y n−1 , qui prennent
leurs valeurs dans ]0, 1]. On a naturellement Y n = U 0 U 1 · · · U n et tout
revient `
a montrer que le syst` eme de variables (U 0 , U 1 , . . . , U n ) ainsi d´ efini
est un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune uniform´ ement
r´ epartie sur ]0, 1].
Pour ne pas alourdir les notations et sans n´ eanmoins nuire `
a la g´ en´ eralit´ e
faisons la d´ emonstration pour n = 2. Soient y 0 , y 1 , y 2 trois nombres v´ erifiant
0 < y 2 ≤ y 1 ≤ y 0 ≤ 1. On a, par d´ efinition, en utilisant les notations usuelles
sur les densit´ es :
f Y 0 (y 0 ) = I ]0,1] (y 0 ), f Y 1 | Y 0 (y 1 | y 0 ) =
1
y 0
I ]0,1]
y 1
y 0
,
f Y 2 | Y 1 ,Y 0 (y 2 | y 1 , y 0 ) = f Y 2 | Y 1 (y 2 | y 1 ) =
1
y 1
I ]0,1]
y 2
y 1
,
ERARCHIQUE
267
3. Acheminement du courrier par voie hi´ erarchique. — Un fonctionnaire re¸ coit une lettre qui doit ˆ etre achemin´ ee au ministre par voie hi´ erarchique. Il est imp´ eratif que la lettre parvienne au ministre avant 1 heure,
apr` es avoir transit´ e par les n ´ echelons r` eglementaires E 1 , . . . , E n . Le dernier
´ echelon E n symbolise le bureau du ministre. On fait les hypoth` eses suivantes :
a) La lettre parvient au fonctionnaire de base, `
a l’´ echelon E 0 , `
a une date
uniform´ ement r´ epartie entre 0 heure et 1 heure.
b) La lettre est transmise imm´ ediatement ` a l’´ echelon E 1 (on convient
que l’apposition de la signature du fonctionnaire et l’envoi physique de la
lettre sont instantan´ es) et y parvient `
a une date uniform´ ement r´ epartie entre
l’instant o` u elle a ´ et´ e envoy´ ee de l’´ echelon E 0 et 1 heure.
c) Pour tout k = 1, . . . , (n − 1) le fonctionnaire `
a l’´ echelon E k transmet
la lettre `
a l’´ echelon E k+1 et la lettre y parvient `
a une date uniform´ ement
r´ epartie entre l’instant o` u elle quitte l’´ echelon E k et 1 heure.
On d´ esigne par X 0 la date `
a laquelle la lettre parvient `
a l’´ echelon E 0 et
par X 1 , . . . , X n les dates auxquelles elle parvient aux ´ echelons E 1 , . . . , E n .
On se propose d’´ etudier la loi de probabilit´ e de X n .
Dans ce mod` ele, on impose que la lettre parvienne au ministre avant
1 heure, de sorte que X n < 1. On pose : Y n = 1 − X n > 0. Les fonctionnaires
situ´ es aux ´ echelons ´ elev´ es vont disposer de moins en moins de temps pour
faire transiter la lettre `
a l’´ echelon sup´ erieur. C’est la ran¸ con du pouvoir !
Proposition 3.1. — La variable al´ eatoire Y n = 1 − X n admet la
repr´ esentation suivante :
Y n = U 0 U 1 · · · U n ,
o` u (U 0 , U 1 , . . . , U n ) est un syst` eme de (n + 1) variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune ´ etant uniform´ ement r´ epartie sur l’intervalle ]0, 1].
La loi de Y n est explicitement donn´ ee dans l’exercice 8 du chapitre 15.
D´ emonstration. — Posons Y k = 1 − X k (k = 0, 1, . . . , n). On a par
d´ efinition : 0 < Y n ≤ Y n−1 ≤ · · · ≤ Y 1 ≤ Y 0 ≤ 1. Introduisons les
variables al´ eatoires U 0 = Y 0 , U 1 = Y 1 /Y 0 , . . . , U n = Y n /Y n−1 , qui prennent
leurs valeurs dans ]0, 1]. On a naturellement Y n = U 0 U 1 · · · U n et tout
revient `
a montrer que le syst` eme de variables (U 0 , U 1 , . . . , U n ) ainsi d´ efini
est un syst` eme de variables al´ eatoires ind´ ependantes, chacune uniform´ ement
r´ epartie sur ]0, 1].
Pour ne pas alourdir les notations et sans n´ eanmoins nuire `
a la g´ en´ eralit´ e
faisons la d´ emonstration pour n = 2. Soient y 0 , y 1 , y 2 trois nombres v´ erifiant
0 < y 2 ≤ y 1 ≤ y 0 ≤ 1. On a, par d´ efinition, en utilisant les notations usuelles
sur les densit´ es :
f Y 0 (y 0 ) = I ]0,1] (y 0 ), f Y 1 | Y 0 (y 1 | y 0 ) =
1
y 0
I ]0,1]
y 1
y 0
,
f Y 2 | Y 1 ,Y 0 (y 2 | y 1 , y 0 ) = f Y 2 | Y 1 (y 2 | y 1 ) =
1
y 1
I ]0,1]
y 2
y 1
,