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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
b) la loi de probabilit´ e



P{N = 0} = P{N = 1} = 0,
P{N = n} =
n − 1
n!
(n ≥ 2).
D´ emonstration. — Pour n = 0 on a P{N > 0} = 1 = 1/0!. Pour n ≥ 1
il r´ esulte de (2.3) que P{N > n} = P{S n ≤ 1} = F n (1). Or, d’apr` es le
Lemme 2.1, F(1) = 1/n!
Pour obtenir la loi de probabilit´ e de N on note d’abord que P{N = n} = 0
pour n = 0, 1. Par ailleurs, pour n ≥ 2, il vient :
P{N = n} = P{N > n − 1} − P{N > n} =
1
(n − 1)!
−
1
n!
=
n − 1
n!
.
Proposition 2.3. — L’esp´ erance math´ ematique de N est donn´ ee par :
E[N ] = e.
D´ emonstration. — En effet, E[N ] =
n≥0
P{N > n}, d’o` u, d’apr` es la Proposition 2.2 a), E[N ] =
n≥0
(1/n!) = e.
Proposition 2.4. — D´ esignons par G(s) = E[s
N ] la fonction g´ en´ eratrice
de N . Alors
G(1 + u) = 1 +
r≥1
r e
u
r
r!
.
Il en r´ esulte que, pour tout r ≥ 1, le moment factoriel d’ordre r de N est
donn´ e par : E[N (N − 1) · · · (N − r + 1)] = r e.
D´ emonstration. — En effet,
G(s) =
n≥2
n − 1
n!
s
n = s
n≥2
s
n−1
(n − 1)!
−
n≥2
s
n
n!
= s
n≥1
s
n
n!
−
n≥2
s
n
n!
= s(e
s
− 1) − (e
s
− 1 − s)
= (s − 1)e
s + 1,
d’o` u, en faisant s = 1 + u,
G(1 + u) = u e
1+u + 1 = 1 + u e
n≥0
u
n
n!
= 1 + e
n≥0
u
n+1
n!
,
enfin en faisant le changement d’indice n + 1 = r
G(1 + u) = 1 + e
r≥1
u
r
(r − 1)!
= 1 +
r≥1
r e
u
r
r!
.
L’expression du moment factoriel d’ordre r ≥ 1 r´ esulte alors de la Proposition
2.5 du chap. 9.