2. UN PROBL `
EME DE TEMPS D’ATTEINTE
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Nous nous proposons donc d’´ etudier la loi de probabilit´ e du premier
instant N o` u la somme S n = X 1 + · · · + X n atteindra D, autrement dit
d’´ etudier la variable al´ eatoire N d´ efinie par
(2.1)
N = inf{n ≥ 1 : S n > 1}.
Il est clair que N prend ses valeurs dans {2, 3, . . . }. D’autre part, par
d´ efinition mˆ eme, on a les propri´ et´ es
(2.2)
S N −1 ≤ 1,
S N > 1,
ainsi que l’identit´ e ensembliste
(2.3)
{N > n} = {S n ≤ 1} (n ≥ 0).
Notons que la derni` ere identit´ e est bien valable pour n = 0 puisque l’on a
pos´ e : S 0 = 0.
Lemme 2.1. — Posons F n (t) = P{S n ≤ t} (t ≥ 0). Alors, pour tout
t ∈ [0, 1], on a : F n (t) = t
n /n!
D´ emonstration. — Pour n = 1 la propri´ et´ e est vraie. Elle d´ ecoule
de l’expression-mˆ eme de la fonction de r´ epartition de X 1 . Proc´ edons par
r´ ecurrence sur n en supposant que l’on a F n (t) = t
n /n! pour t ∈ [0, 1]. Pour
tout t ∈ [0, 1] il vient alors
F n+1 (t) = P{S n+1 ≤ t} = P{S n + X n+1 ≤ t}
=
t
0
P{S n + X n+1 ≤ t | X n+1 = x} dx
=
t
0
P{S n ≤ t − x | X n+1 = x} dx,
d’o` u, puisque S n et X n+1 sont ind´ ependantes
F n+1 (t) =
t
0
P{S n ≤ t − x} dx,
soit, en vertu de l’hypoth` ese de r´ ecurrence
F n+1 (t) =
t
0
(t − x)
n
n!
dx =
t
n+1
(n + 1)!
.
Remarque. — L’expression de la fonction de r´ epartition de S n pour le seul
intervalle [0, 1] suffit pour le calcul de la loi de probabilit´ e de N . Notons que
la densit´ e de S n sur tout l’intervalle [0, n] a ´ et´ e donn´ ee dans l’exercice 7 du
chapitre 11.
Proposition 2.2. — La variable al´ eatoire N admet
a) la fonction de survie P{N > n} =
1
n!
(n ≥ 0),