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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
somme par une somme partielle, on commet une erreur dont la valeur absolue
est major´ ee par la valeur absolue du premier terme n´ eglig´ e. On a donc :
A ≤
n
k=0
1
k!
1
(n + 1 − k)!
=
1
(n + 1)!
n
k=0
n + 1
k
≤
1
(n + 1)!
n+1
k=0
n + 1
k
=
2
n+1
(n + 1)!
.
On a d’autre part
B = e
−1
k≥n+1
1
k!
=
Γ(n + 1, 1)
Γ(n + 1)
,
o` u
Γ(n + 1, 1) =
1
0
t
n e
−t dt ≤
1
0
t
n dt =
1
n + 1
.
Il en r´ esulte
B ≤
1
(n + 1) Γ(n + 1)
=
1
(n + 1)!
.
Terminons ce paragraphe par une ´ etude asymptotique de la probabilit´ e
qu’il y ait un nombre impair de rencontres. Comme on va le voir, la valeur
limite de cette probabilit´ e est strictement inf´ erieure `
a
1
2 .
En particularisant la formule (1.1.4) au probl` eme des rencontres, B n
est l’´ ev` enement il y a un nombre impair de rencontres ; d’autre part
P(E i 1 · · · E i k ) = (n − k)! / k!. On en tire :
P(B n ) =
n
k=1
(−2)
k−1
n
k
(n − k)!
n!
=
n
k=1
(−2)
k−1
n!
k! (n − k)!
(n − k)!
n!
= −
1
2
n
k=1
(−2)
k
k!
= −
1
2
n
k=0
(−2)
k
k!
− 1
=
1
2
−
1
2
n
k=0
(−2)
k
k!
,
une quantit´ e qui tend vers
1
2 −
1
2 e
−2
≈ 0, 43233 lorsque n tend vers l’infini.
2. Un probl` eme de temps d’atteinte. — Nous nous proposons
d’´ etudier, dans un cas tr` es particulier, le probl` eme du temps d’atteinte d’un
processus stochastique, c’est-` a-dire d’une famille (S t ) (t ∈ T ) de variables
al´ eatoires r´ eelles, dans un sous-ensemble fix´ e D de R. Il s’agit de donner des
informations sur le premier instant t pour lequel S t appartient `
a D.
Nous prenons ici pour ensemble T l’ensemble N des entiers positifs et pour
processus stochastique la famille (S n ) (n ∈ N) des variables al´ eatoires d´ efinie
par S 0 = 0 et S n = X 1 + · · · + X n (n ≥ 1), o` u (X n ) (n ≥ 1) est une suite de
variables al´ eatoires, ind´ ependantes, uniform´ ement distribu´ ees sur l’intervalle
[0, 1]. Enfin, on prend pour D la demi-droite ouverte D =]1, +∞[.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
somme par une somme partielle, on commet une erreur dont la valeur absolue
est major´ ee par la valeur absolue du premier terme n´ eglig´ e. On a donc :
A ≤
n
k=0
1
k!
1
(n + 1 − k)!
=
1
(n + 1)!
n
k=0
n + 1
k
≤
1
(n + 1)!
n+1
k=0
n + 1
k
=
2
n+1
(n + 1)!
.
On a d’autre part
B = e
−1
k≥n+1
1
k!
=
Γ(n + 1, 1)
Γ(n + 1)
,
o` u
Γ(n + 1, 1) =
1
0
t
n e
−t dt ≤
1
0
t
n dt =
1
n + 1
.
Il en r´ esulte
B ≤
1
(n + 1) Γ(n + 1)
=
1
(n + 1)!
.
Terminons ce paragraphe par une ´ etude asymptotique de la probabilit´ e
qu’il y ait un nombre impair de rencontres. Comme on va le voir, la valeur
limite de cette probabilit´ e est strictement inf´ erieure `
a
1
2 .
En particularisant la formule (1.1.4) au probl` eme des rencontres, B n
est l’´ ev` enement il y a un nombre impair de rencontres ; d’autre part
P(E i 1 · · · E i k ) = (n − k)! / k!. On en tire :
P(B n ) =
n
k=1
(−2)
k−1
n
k
(n − k)!
n!
=
n
k=1
(−2)
k−1
n!
k! (n − k)!
(n − k)!
n!
= −
1
2
n
k=1
(−2)
k
k!
= −
1
2
n
k=0
(−2)
k
k!
− 1
=
1
2
−
1
2
n
k=0
(−2)
k
k!
,
une quantit´ e qui tend vers
1
2 −
1
2 e
−2
≈ 0, 43233 lorsque n tend vers l’infini.
2. Un probl` eme de temps d’atteinte. — Nous nous proposons
d’´ etudier, dans un cas tr` es particulier, le probl` eme du temps d’atteinte d’un
processus stochastique, c’est-` a-dire d’une famille (S t ) (t ∈ T ) de variables
al´ eatoires r´ eelles, dans un sous-ensemble fix´ e D de R. Il s’agit de donner des
informations sur le premier instant t pour lequel S t appartient `
a D.
Nous prenons ici pour ensemble T l’ensemble N des entiers positifs et pour
processus stochastique la famille (S n ) (n ∈ N) des variables al´ eatoires d´ efinie
par S 0 = 0 et S n = X 1 + · · · + X n (n ≥ 1), o` u (X n ) (n ≥ 1) est une suite de
variables al´ eatoires, ind´ ependantes, uniform´ ement distribu´ ees sur l’intervalle
[0, 1]. Enfin, on prend pour D la demi-droite ouverte D =]1, +∞[.