1. LE PROBL `
EME DES RENCONTRES REVISIT ´
E
263
D´ emonstration. — Faisons le changement de variable s = 1 + u dans la
fonction g´ en´ eratrice. On obtient :
G(1 + u) =
n
k=0
u
k
k!
= 1 +
n
k=1
1 ·
u
k
k!
,
d’o` u le r´ esultat en vertu de la Proposition 2.5 du chapitre 9.
Cas particuliers. — Pour n ≥ 2 on retrouve les r´ esultats de la Proposition
1.2.1 : E[X n ] = 1 et Var X n = E[X
2
n ] − ( E[X n ] )
2 = E[X
2
n ] − E[X n ] =
E[X n (X n − 1)] = 1.
Th´ eor` eme 1.2.4. — La suite (X n ) (n ≥ 1) tend en loi vers une variable
al´ eatoire de Poisson de param` etre 1.
D´ emonstration. — Fixons r ≥ 0 et prenons n > r. Alors P{X n = r} =
(1/r!)
n−r
i=0
(−1)
i /i!, une quantit´ e qui tend vers e
−1 /r! lorsque n tend vers
l’infini.
Une autre d´ emonstration consiste ` a faire appel au Th´ eor` eme 4.1 du
chapitre 9 en consid´ erant la fonction g´ en´ eratrice G(s) =
n
k=0
(s − 1)
k /k! et en
constatant que, lorsque n tend vers l’infini, G(s) tend vers e
s−1 , qui est la
fonction g´ en´ eratrice de la loi de Poisson P(1).
Il est bon de noter, en parall` ele avec le Th´ eor` eme 1.2.4, que tous les
moments factoriels de P(1) sont ´ egaux `
a 1.
On peut estimer la vitesse de convergence de la loi L(X n ) de X n vers P(1).
Th´ eor` eme 1.2.5. — Soit Y une variable al´ eatoire de loi P(1). Introduisons la distance en variation d d´ efinie par
d(X n , Y ) =
1
2
k≥0
|P{X n = k} − P{Y = k}| .
Alors
d(X n , Y ) ≤
2
n
(n + 1)!
+
1
2
1
(n + 1)!
∼
2
n
(n + 1)!
.
D´ emonstration. — Ecrivons :
2 d(X n , Y ) =
n
k=0
1
k!
n−k
i=0
(−1)
i
i!
− e
−1
+ e
−1
k≥n+1
1
k!
= A + B.
D’abord la s´ erie
i≥0
(−1)
i /i! (de somme e
−1 ) est une s´ erie altern´ ee. La valeur
absolue de son terme g´ en´ eral tend vers 0 en d´ ecroissant. En rempla¸ cant sa