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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Remarque 1. — Une autre mani` ere d’´ etablir la formule (1.2.1) est de
faire seulement appel `
a la formule de Poincar´ e. D’apr` es cette formule,
la probabilit´ e qu’il n’y ait aucune rencontre vaut p n =
n
i=0
(−1)
i /i! (cf.
chap. 4, exercice 2, b)). Une suite de n tirages peut ˆ etre identifi´ ee ` a une
permutation de (1, 2, . . . , n). Le nombre n!×p n est le nombre de permutations
pr´ esentant 0 rencontre ; ce sont les permutations qu’on appelle aussi les
d´ erangements de l’ensemble [ n ]. Une permutation pr´ esentant r rencontres est
alors caract´ eris´ ee par la donn´ ee d’un couple (J, d ), o` u J est un sous-ensemble
de [ n ] de cardinal r et o` u d est un d´ erangement de [ n ] \ J. Leur nombre
est donc
n
r
× (n − r)! p n−r . La probabilit´ e d’avoir exactement r rencontres
est ainsi ´ egale ` a
n
r
× (n − r)! p n−r / n! = (1/r! ) × (
n−r
i=0
(−1)
i /i! ), qui est la
formule (1.2.1).
Remarque 2. — Le th´ eor` eme 1.2.2 fournit l’identit´ e
n
r=0
1
r!
n−r
i=0
(−1)
i
i!
= 1.
Cas particuliers. — Il est int´ eressant de noter les formules :
P{X n = 0} =
n
i=0
(−1)
i
i!
et P{X n = 1} =
n−1
i=0
(−1)
i
i!
,
expressions qui tendent toutes deux vers e
−1 lorsque n tend vers l’infini. On
a encore P{X n = n − 1} = 0 (s’il y a au moins (n − 1) rencontres, il y en
n´ ecessairement n) et ´ evidemment P{X n = n} = 1/n!
Th´ eor` eme 1.2.3. — La fonction g´ en´ eratrice de X n est donn´ ee par :
G(s) = E[s
X n ] =
n
k=0
(s − 1)
k
k!
.
D´ emonstration. — Par d´ efinition
G(s) =
n
r=0
s
r P{X n = r} =
n
r=0
n−r
i=0
s
r
r!
(−1)
i
i!
,
d’o` u, en faisant le changement d’indice i = k − r,
G(s) =
n
r=0
n
k=r
s
r
r!
(−1)
k−r
(k − r)!
=
n
r=0
n
k=r
1
k!
k
r
s
r (−1)
k−r ,
puis en ´ echangeant l’ordre des sommations,
G(s) =
n
k=0
1
k!
k
r=0
k
r
s
r (−1)
k−r =
n
k=0
(s − 1)
k
k!
.
Corollaire. — Tous les moments factoriels de X n sont ´ egaux `
a 1
jusqu’` a l’ordre n (inclus), `
a 0 apr` es l’ordre n.
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
Remarque 1. — Une autre mani` ere d’´ etablir la formule (1.2.1) est de
faire seulement appel `
a la formule de Poincar´ e. D’apr` es cette formule,
la probabilit´ e qu’il n’y ait aucune rencontre vaut p n =
n
i=0
(−1)
i /i! (cf.
chap. 4, exercice 2, b)). Une suite de n tirages peut ˆ etre identifi´ ee ` a une
permutation de (1, 2, . . . , n). Le nombre n!×p n est le nombre de permutations
pr´ esentant 0 rencontre ; ce sont les permutations qu’on appelle aussi les
d´ erangements de l’ensemble [ n ]. Une permutation pr´ esentant r rencontres est
alors caract´ eris´ ee par la donn´ ee d’un couple (J, d ), o` u J est un sous-ensemble
de [ n ] de cardinal r et o` u d est un d´ erangement de [ n ] \ J. Leur nombre
est donc
n
r
× (n − r)! p n−r . La probabilit´ e d’avoir exactement r rencontres
est ainsi ´ egale ` a
n
r
× (n − r)! p n−r / n! = (1/r! ) × (
n−r
i=0
(−1)
i /i! ), qui est la
formule (1.2.1).
Remarque 2. — Le th´ eor` eme 1.2.2 fournit l’identit´ e
n
r=0
1
r!
n−r
i=0
(−1)
i
i!
= 1.
Cas particuliers. — Il est int´ eressant de noter les formules :
P{X n = 0} =
n
i=0
(−1)
i
i!
et P{X n = 1} =
n−1
i=0
(−1)
i
i!
,
expressions qui tendent toutes deux vers e
−1 lorsque n tend vers l’infini. On
a encore P{X n = n − 1} = 0 (s’il y a au moins (n − 1) rencontres, il y en
n´ ecessairement n) et ´ evidemment P{X n = n} = 1/n!
Th´ eor` eme 1.2.3. — La fonction g´ en´ eratrice de X n est donn´ ee par :
G(s) = E[s
X n ] =
n
k=0
(s − 1)
k
k!
.
D´ emonstration. — Par d´ efinition
G(s) =
n
r=0
s
r P{X n = r} =
n
r=0
n−r
i=0
s
r
r!
(−1)
i
i!
,
d’o` u, en faisant le changement d’indice i = k − r,
G(s) =
n
r=0
n
k=r
s
r
r!
(−1)
k−r
(k − r)!
=
n
r=0
n
k=r
1
k!
k
r
s
r (−1)
k−r ,
puis en ´ echangeant l’ordre des sommations,
G(s) =
n
k=0
1
k!
k
r=0
k
r
s
r (−1)
k−r =
n
k=0
(s − 1)
k
k!
.
Corollaire. — Tous les moments factoriels de X n sont ´ egaux `
a 1
jusqu’` a l’ordre n (inclus), `
a 0 apr` es l’ordre n.