1. LE PROBL `
EME DES RENCONTRES REVISIT ´
E
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Nous nous proposons d’´ etudier la variable al´ eatoire X n =
n
k=1
I E k qui
repr´ esente le nombre total de rencontres dans ces n tirages. Elle prend ses
valeurs dans {0, 1, . . . , n}. Commen¸ cons par ´ enoncer quelques propri´ et´ es qui
peuvent s’´ etablir sans connaˆ ıtre la loi de probabilit´ e de X n .
Proposition 1.2.1
1) Pour tout n ≥ 1, E[X n ] = 1.
2) Pour tout n ≥ 2, Var X n = 1.
3) Pour tout x > 1 et tout n ≥ 2 on a la majoration :
P{X n > x} ≤
1
(x − 1) 2 .
D´ emonstration. — Pour tout k = 1, . . . , n, on a E[I
2
E k
] = E[I E k ] =
P(E k ) = 1/n et aussi E[I E i I E j ] = P(E i E j ) = 1/(n(n − 1)) pour i = j.
D’o` u
E[X n ] =
n
k=1
E[I E k ] = n
1
n
= 1 ;
E[X
2
n ] =
n
k=1
E[I
2
E k
] + 2
1≤i E[I E i I E j ] = n
1
n
+ 2
n
2
1
n(n − 1)
= 2 ;
Var X n = E[X
2
n ] − ( E[X n ] )
2 = 1.
Enfin, l’in´ egalit´ e de Bienaym´ e-Tchebychev fournit la majoration :
P{X n > x} = P{X n − E[X n ] > x − 1} ≤
Var X n
(x − 1) 2 =
1
(x − 1) 2 .
Pour d´ eterminer la loi de probabilit´ e de X n on utilise l’extension (1.1.2)
de la formule de Poincar´ e.
Th´ eor` eme 1.2.2. — La loi de probabilit´ e de X n est donn´ ee par :
(1.2.1)
P{X n = r} =

 
 
1
r!
n−r
i=0
(−1)
i
i!
, si r ∈ {0, 1, . . . , n } ;
0,
sinon.
D´ emonstration. — Utilisons la formule (1.1.2) en prenant pour E i
l’´ ev` enement rencontre au rang i (i = 1, . . . , n). Alors A r est l’´ ev` enement
{X n = r}. D’autre part, pour 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n on a P(E i 1 . . . E i k ) =
(n − k)!/n!. D’o` u, pour r = 0, 1, . . . , n
P{X n = r} =
n
k=r
(−1)
k−r
k
r
n
k
(n − k)!
n!
=
n
k=r
(−1)
k−r
k!
r! (k − r)!
n!
k! (n − k)!
(n − k)!
n!
=
1
r!
n
k=r
(−1)
k−r
(k − r)!
=
1
r!
n−r
i=0
(−1)
i
i!
.