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CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
tel que ω ∈
i∈L
E i ×
i∈L c
E
c
i . Si l < r on a ´ evidemment I A r (ω) = 0 et
´ egalement I E i 1 ···E i k (ω) = 0 pour toute suite 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n telle que
k ≥ r. Les deux membres de l’identit´ e sont donc nuls.
Si l ≥ r, on a I A r (ω) = 1 ou 0 suivant que l = r ou l > r. Par ailleurs,
I E i 1 ···E i k (ω) = 1 si et seulement si k ≤ l et {i 1 , . . . , i k } ⊂ L. Pour k fix´ e tel
que r ≤ k ≤ l il y a donc
l
k
suites (i 1 < · · · < i k ) telles que I E i 1 ···E i k (ω) = 1.
Le second membre de (1.1.1) appliqu´ e ` a cet ´ el´ ement ω s’´ ecrit :
l
k=r
(−1)
k−r
k
r
l
k
=
l
r
l
k=r
(−1)
k−r
l − r
k − r
=
l
r
l−r
j=0
(−1)
j
l − r
j
,
une expression qui vaut 1 ou 0 suivant que l = r ou l > r.
Utilisant la mˆ eme technique retrouvons la formule pour la probabilit´ e de
l’´ ev` enement B n
il se produit un nombre impair d’´ ev` enements parmi E 1 ,
. . . , E n
, en ´ etablissant la formule
I B n =
n
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
1≤i 1 <··· I E i 1 ···E i k ,
(1.1.3)
d’o` u l’on d´ eduit :
P(B n ) =
n
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
1≤i 1 <··· P(E i 1 · · · E i k ).
(1.1.4)
Reprenons les mˆ emes notations que ci-dessus pour le sous-ensemble L de
cardinal l correspondant `
a l’´ epreuve ω. On a I B n (ω) = 1 si et seulement si l
est impair. Par ailleurs, le membre de gauche de (1.1.3) appliqu´ e ` a l’´ epreuve
ω vaut
l
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
l
k
= −
1
2
l
k=1
(−2)
k
l
k
= −
1
2
[(−1)
l
− 1],
qui est bien ´ egal ` a 1 ou `
a 0 suivant que l est impair ou pair.
1.2. Le nombre de rencontres. — Rappelons les ´ enonc´ es de base sur le
probl` eme des rencontres (cf. chap. 4, exercice 2). Une urne contient n boules
num´ erot´ ees de 1 ` a n (n ≥ 1). On les extrait successivement sans remise et
apr` es chaque tirage on note le num´ ero de la boule tir´ ee. On dit qu’il y a
rencontre au rang i (1 ≤ i ≤ n) si la boule tir´ ee au i
i` eme tirage porte le
num´ ero i.
D´ esignons par E i l’´ ev` enement il y a rencontre au rang i . On a :
P(E i ) = (n − 1)!/n! (1 ≤ i ≤ n), puis P(E i E j ) = (n − 2)!/n! (1 ≤ i < j ≤ n),
. . . , enfin P(E 1 · · · E n ) = 1/n!
CHAPITRE 20 : APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES
tel que ω ∈
i∈L
E i ×
i∈L c
E
c
i . Si l < r on a ´ evidemment I A r (ω) = 0 et
´ egalement I E i 1 ···E i k (ω) = 0 pour toute suite 1 ≤ i 1 < · · · < i k ≤ n telle que
k ≥ r. Les deux membres de l’identit´ e sont donc nuls.
Si l ≥ r, on a I A r (ω) = 1 ou 0 suivant que l = r ou l > r. Par ailleurs,
I E i 1 ···E i k (ω) = 1 si et seulement si k ≤ l et {i 1 , . . . , i k } ⊂ L. Pour k fix´ e tel
que r ≤ k ≤ l il y a donc
l
k
suites (i 1 < · · · < i k ) telles que I E i 1 ···E i k (ω) = 1.
Le second membre de (1.1.1) appliqu´ e ` a cet ´ el´ ement ω s’´ ecrit :
l
k=r
(−1)
k−r
k
r
l
k
=
l
r
l
k=r
(−1)
k−r
l − r
k − r
=
l
r
l−r
j=0
(−1)
j
l − r
j
,
une expression qui vaut 1 ou 0 suivant que l = r ou l > r.
Utilisant la mˆ eme technique retrouvons la formule pour la probabilit´ e de
l’´ ev` enement B n
il se produit un nombre impair d’´ ev` enements parmi E 1 ,
. . . , E n
, en ´ etablissant la formule
I B n =
n
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
1≤i 1 <··· I E i 1 ···E i k ,
(1.1.3)
d’o` u l’on d´ eduit :
P(B n ) =
n
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
1≤i 1 <··· P(E i 1 · · · E i k ).
(1.1.4)
Reprenons les mˆ emes notations que ci-dessus pour le sous-ensemble L de
cardinal l correspondant `
a l’´ epreuve ω. On a I B n (ω) = 1 si et seulement si l
est impair. Par ailleurs, le membre de gauche de (1.1.3) appliqu´ e ` a l’´ epreuve
ω vaut
l
k=1
(−1)
k−1 2
k−1
l
k
= −
1
2
l
k=1
(−2)
k
l
k
= −
1
2
[(−1)
l
− 1],
qui est bien ´ egal ` a 1 ou `
a 0 suivant que l est impair ou pair.
1.2. Le nombre de rencontres. — Rappelons les ´ enonc´ es de base sur le
probl` eme des rencontres (cf. chap. 4, exercice 2). Une urne contient n boules
num´ erot´ ees de 1 ` a n (n ≥ 1). On les extrait successivement sans remise et
apr` es chaque tirage on note le num´ ero de la boule tir´ ee. On dit qu’il y a
rencontre au rang i (1 ≤ i ≤ n) si la boule tir´ ee au i
i` eme tirage porte le
num´ ero i.
D´ esignons par E i l’´ ev` enement il y a rencontre au rang i . On a :
P(E i ) = (n − 1)!/n! (1 ≤ i ≤ n), puis P(E i E j ) = (n − 2)!/n! (1 ≤ i < j ≤ n),
. . . , enfin P(E 1 · · · E n ) = 1/n!