CHAPITRE 20
APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES :
PROBL `
EMES R ´
ESOLUS
Dans ce dernier chapitre on trouve les ´ enonc´ es et les solutions compl` etes de
plusieurs probl` emes du calcul des probabilit´ es dont la solution fait appel aux
diff´ erentes techniques et m´ ethodes pr´ esent´ ees dans le livre. Ces probl` emes
fournissent une ouverture vers d’autres branches des math´ ematiques. Ils
sont de nature tr` es diff´ erente. On y trouve : le probl` eme des rencontres
revisit´ e, un probl` eme de temps d’atteinte, un mod` ele pour l’acheminement du
courrier par voie hi´ erarchique, une ouverture vers les fractions continues, une
application de la formule de Bernstein, un regard vers le mod` ele de diffusion
d’Ehrenfest et un probl` eme de probabilit´ e g´ eom´ etrique.
1. Le probl` eme des rencontres revisit´ e. — Dans l’exercice 2 du
chapitre 4 nous avons ´ etudi´ e le probl` eme classique des rencontres. Nous
nous proposons ici de prolonger cette ´ etude en ´ etudiant les propri´ et´ es de la
variable al´ eatoire nombre de rencontres , en particulier son comportement
asymptotique. Comme la formule de Poincar´ e (cf. chap. 3, § 3) et ses
extensions (cf. chap. 3, exercice 10) jouent un rˆ ole initial essentiel dans cette
´ etude, nous nous proposons de red´ emontrer ces extensions par une nouvelle
m´ ethode reposant sur l’alg` ebre des indicateurs et un argument de comptage.
1.1. Les extensions de la formule de Poincar´ e. — Soient n ≥ 1 et n
´ ev` enements E 1 , . . . , E n . On d´ esigne par A r (0 ≤ r ≤ n) l’´ ev` enement sur ces
n ´ ev` enements exactement r se produisent . Dans l’exercice 10 du chapitre 3
on a donn´ e une formule pour la probabilit´ e P(A r ). Retrouvons cette formule
en ´ etablissant l’identit´ e suivante sur les indicateurs
I A r =
n
k=r
(−1)
k−r
k
r
1≤i 1 <··· I E i 1 ···E i k ,
(1.1.1)
d’o` u l’on d´ eduit la formule cherch´ ee
P(A r ) =
n
k=r
(−1)
k−r
k
r
1≤i 1 <··· P(E i 1 · · · E i k ),
(1.1.2)
en prenant l’esp´ erance math´ ematique des deux membres de (1.1.1).
D´ emonstration. — Soit ω un ´ el´ ement de l’ensemble fondamental Ω sousjacent. Il existe un sous-ensemble unique L de [ n ], de cardinal l (0 ≤ l ≤ n),
APPLICATIONS DES PROBABILIT ´
ES :
PROBL `
EMES R ´
ESOLUS
Dans ce dernier chapitre on trouve les ´ enonc´ es et les solutions compl` etes de
plusieurs probl` emes du calcul des probabilit´ es dont la solution fait appel aux
diff´ erentes techniques et m´ ethodes pr´ esent´ ees dans le livre. Ces probl` emes
fournissent une ouverture vers d’autres branches des math´ ematiques. Ils
sont de nature tr` es diff´ erente. On y trouve : le probl` eme des rencontres
revisit´ e, un probl` eme de temps d’atteinte, un mod` ele pour l’acheminement du
courrier par voie hi´ erarchique, une ouverture vers les fractions continues, une
application de la formule de Bernstein, un regard vers le mod` ele de diffusion
d’Ehrenfest et un probl` eme de probabilit´ e g´ eom´ etrique.
1. Le probl` eme des rencontres revisit´ e. — Dans l’exercice 2 du
chapitre 4 nous avons ´ etudi´ e le probl` eme classique des rencontres. Nous
nous proposons ici de prolonger cette ´ etude en ´ etudiant les propri´ et´ es de la
variable al´ eatoire nombre de rencontres , en particulier son comportement
asymptotique. Comme la formule de Poincar´ e (cf. chap. 3, § 3) et ses
extensions (cf. chap. 3, exercice 10) jouent un rˆ ole initial essentiel dans cette
´ etude, nous nous proposons de red´ emontrer ces extensions par une nouvelle
m´ ethode reposant sur l’alg` ebre des indicateurs et un argument de comptage.
1.1. Les extensions de la formule de Poincar´ e. — Soient n ≥ 1 et n
´ ev` enements E 1 , . . . , E n . On d´ esigne par A r (0 ≤ r ≤ n) l’´ ev` enement sur ces
n ´ ev` enements exactement r se produisent . Dans l’exercice 10 du chapitre 3
on a donn´ e une formule pour la probabilit´ e P(A r ). Retrouvons cette formule
en ´ etablissant l’identit´ e suivante sur les indicateurs
I A r =
n
k=r
(−1)
k−r
k
r
1≤i 1 <··· I E i 1 ···E i k ,
(1.1.1)
d’o` u l’on d´ eduit la formule cherch´ ee
P(A r ) =
n
k=r
(−1)
k−r
k
r
1≤i 1 <··· P(E i 1 · · · E i k ),
(1.1.2)
en prenant l’esp´ erance math´ ematique des deux membres de (1.1.1).
D´ emonstration. — Soit ω un ´ el´ ement de l’ensemble fondamental Ω sousjacent. Il existe un sous-ensemble unique L de [ n ], de cardinal l (0 ≤ l ≤ n),