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CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
g
2 (u) − g(u)g
(u) = − exp
−
u
√ pq
(p − q)
.
Donc f
(u) = 1 −
1
g 2 (u)
exp
−
u
√ pq
(p − q)
. D’apr` es l’exercice 1 et les
hypoth` eses p − q ≥ 0, u ≥ 0, on en d´ eduit :
f
(u) ≥ 1 − exp
−
u
√ pq
(p − q)
≥ 0.
La fonction u → f (u) (u ≥ 0) est donc convexe ; de plus f (0) = 0 et f
(0) = 0.
On en d´ eduit f (u) ≥ 0 pour tout u ≥ 0.
3. Divergence de la s´ erie de terme g´ en´ eral P{D
∗
r >
√ η
2 log(r log γ) }
(cf. Th´ eor` eme 3.2). — D´ esignons par F
∗
r la fonction de r´ epartition de D
∗
r et
par Φ celle de N (0, 1). Comme D r a mˆ eme loi que S n r −n r−1 , la majoration
de Berry-Ess´ een
4 fournit
sup
−∞ |F
∗
r (x) − Φ(x)| ≤ A(n r − n r−1 )
−1/2 , o` u A
est une constante positive. Posons ensuite
x r =
√ η
2 log(r log γ) =
√ η
2 log log n r .
(1)
Il vient :
P{D
∗
r > x r } = 1 − F
∗
r (x r ) ≥ 1 − Φ(x r ) − |F
∗
r (x r ) − Φ(x r )|
≥ 1 − Φ(x r ) − A(n r − n r−1 )
−1/2 .
(2)
Or, lorsque r → ∞, on a : 1 − Φ(x r ) ∼ (2π)
−1/2 x
−1
r exp(−x
2
r /2) ; d’o` u, en
rempla¸ cant x r par sa valeur tir´ ee de (1)
1 − Φ(x r ) ∼ k
1
√
log log n r
1
(log n r ) η ,
(3)
o` u k est une constante. Or,
A(n r − n r−1 )
−1/2 = A
γ/(γ − 1)(1/
√ n r ).
(4)
Il r´ esulte alors de (3) et (4) que le terme A(n r − n r−1 )
−1/2 est n´ egligeable
devant 1 − Φ(x r ). Le dernier membre de (2) est donc ´ equivalent `
a 1 − Φ(x r ).
Or, d’apr` es (3), l’expression 1 − Φ(x r ) est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie
divergente. Il en est donc de mˆ eme du premier membre de (2), ` a savoir
P{D
∗
r > x r }.
4 Feller (William). — An Introduction to Probability Theory and its Applications, vol. 2.
J. Wiley, , p. 515.