COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
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Th´ eor` eme 3.4 (Hartman-Wintner,
3 1941). — Soit (X n ) (n ≥ 1)
une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes, identiquement distribu´ ees,
centr´ ees, de L
2 , d’´ ecart-type commun σ > 0. Posons S n =
n
k=1
X k (n ≥ 1).
Alors, presque sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log log n
= σ et lim inf
n→∞
S n
√
2n log log n
= −σ.
COMPL ´
EMENTS ET EXERCICES
1. — Soit (Y n ) (n ≥ 1) une suite de variables al´ eatoires ind´ ependantes,
identiquement distribu´ ees, de loi commune pε 1 + qε 0 (0 < p < 1, p + q = 1).
On pose : X n = (Y n − p)/
√ pq et S n =
n
k=1
X k (n ≥ 1).
a) ´
Evaluer la fonction g´ en´ eratrice des moments g(u) de X 1 .
b) Pour tout u ∈ R, on a : g(u) ≥ 1. (Le r´ esultat est banal lorsque
p = q =
1
2 .)
Solution. — On a pour tout u r´ eel g(u) = g X 1 (u) = E[e
uX 1 ] =
p exp
u
q
√ pq
+q exp
−u
p
√ pq
. Posons a = exp
u
q
√ pq
, b = exp
−u
p
√ pq
.
Alors g(u) = pa+qb n’est autre que la moyenne arithm´ etique de a et b, tandis
que a
p b
q (qui vaut 1) est la moyenne g´ eom´ etrique de a et b. D’apr` es l’in´ egalit´ e
classique sur les moyennes, on en d´ eduit : g(u) ≥ 1.
2. — On conserve les notations de l’exercice pr´ ec´ edent. L’in´ egalit´ e g(u) ≤
e
u
2 /2 est satisfaite pour tout u ≥ 0, lorsque p ≥ q et pour tout u ≤ 0, lorsque
p ≤ q. (Lorsque p = q =
1
2 , cette in´ egalit´ e fait l’objet du Lemme 1.1.).
Solution. — Faisons la d´ emonstration pour p ≥ q, u ≥ 0. Introduisons la
fonction f (u) = (u
2 /2) − Log g(u), de sorte que
f
(u) = u −
g
(u)
g(u)
,
f
(u) = 1 +
g
2 (u) − g(u)g
(u)
g 2 (u)
.
Comme
g
(u) =
√ pq
exp
u
q
√ pq
− exp
−u
p
√ pq
et
g
(u) = q exp
u
q
√ pq
+ p exp
−u
p
√ pq
,
on en tire
3 Hartmann (Ph.) and Wintner (A.). — On the law of the iterated logarithm, Amer. J.
Math., vol. 63, p. 169–176.