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CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
d) Nous allons montrer que
P(B r ) = +∞. Puisque les B r (r ≥ 1)
sont ind´ ependants, le lemme de Borel-Cantelli entraˆ ıne que l’´ ev` enement
B r a lieu, presque sˆ urement, pour une infinit´ e d’indices r. En effet, D r
est une variable al´ eatoire de variance n r − n r−1 . La variable r´ eduite ´ etant
D
∗
r = D r /
√ n r − n r−1 , on peut r´ ecrire B r sous la forme
B r =
D
∗
r > η
2
n r
n r − n r−1
log log n r
.
Or n r /(n r − n r−1 ) = γ/(γ − 1) < 1/η. D’o` u
B r ⊃ {D
∗
r >
√ η
2 log log n r } = {D
∗
r >
√ η
2 log(r log γ) },
pour 0 < η < 1. Or D
∗
r
L
−→ N (0, 1), lorsque r tend vers l’infini. On en d´ eduit
que la s´ erie de terme g´ en´ eral P{D
∗
r >
√ η
2 log(r log γ) } est divergente. Un
argument plus complet est donn´ e dans les compl´ ements ` a la page 258.
e) Il r´ esulte de c), d) et de l’inclusion B r ∪ C r ⊂ A n r que l’´ ev` enement
A n r a lieu presque sˆ urement pour une infinit´ e d’indices r.
Th´ eor` eme 3.2
. — Pour tout c tel que 0 < c < 1, l’´ ev` enement
A
n = {S n < −c
√
2n log log n } a lieu pour une infinit´ e d’indices.
D´ emonstration. — Elle d´ ecoule du Th´ eor` eme 3.2, puisque les variables
al´ eatoires S n sont sym´ etriques.
Les Th´ eor` emes 3.1, 3.2, 3.2
se r´ esument finalement en l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 3.3 (Loi du logarithme it´ er´ e, Khintchine, 1924). — Presque
sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log log n
= 1 et lim inf
n→∞
S n
√
2n log log n
= −1.
En d’autres termes, pour tout ε > 0, presque sˆ urement, la suite de
terme g´ en´ eral S n d´ epasse la valeur (1 + ε)
√
2n log log n au plus un nombre
fini de fois ; en revanche, presque sˆ urement, elle d´ epasse une infinit´ e de
fois la valeur (1 − ε)
√
2n log log n. De mˆ eme, presque sˆ urement, elle est
inf´ erieure ` a la valeur −(1 + ε)
√
2n log log n au plus un nombre fini de fois ; en
revanche, presque sˆ urement, elle est inf´ erieure une infinit´ e de fois ` a la valeur
−(1 − ε)
√
2n log log n.
Corollaire. — Avec une probabilit´ e ´ egale `
a 1, la suite (S n ) prend une
infinit´ e de fois toute valeur enti` ere.
Les recherches ult´ erieures essay` erent de s’affranchir de l’hypoth` ese classique que les variables al´ eatoires Y n suivaient la loi de Bernoulli de
param` etre
1
2 . Parmi les nombreux r´ esultats obtenus dans cette direction,
citons le r´ esultat suivant.
CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
d) Nous allons montrer que
P(B r ) = +∞. Puisque les B r (r ≥ 1)
sont ind´ ependants, le lemme de Borel-Cantelli entraˆ ıne que l’´ ev` enement
B r a lieu, presque sˆ urement, pour une infinit´ e d’indices r. En effet, D r
est une variable al´ eatoire de variance n r − n r−1 . La variable r´ eduite ´ etant
D
∗
r = D r /
√ n r − n r−1 , on peut r´ ecrire B r sous la forme
B r =
D
∗
r > η
2
n r
n r − n r−1
log log n r
.
Or n r /(n r − n r−1 ) = γ/(γ − 1) < 1/η. D’o` u
B r ⊃ {D
∗
r >
√ η
2 log log n r } = {D
∗
r >
√ η
2 log(r log γ) },
pour 0 < η < 1. Or D
∗
r
L
−→ N (0, 1), lorsque r tend vers l’infini. On en d´ eduit
que la s´ erie de terme g´ en´ eral P{D
∗
r >
√ η
2 log(r log γ) } est divergente. Un
argument plus complet est donn´ e dans les compl´ ements ` a la page 258.
e) Il r´ esulte de c), d) et de l’inclusion B r ∪ C r ⊂ A n r que l’´ ev` enement
A n r a lieu presque sˆ urement pour une infinit´ e d’indices r.
Th´ eor` eme 3.2
. — Pour tout c tel que 0 < c < 1, l’´ ev` enement
A
n = {S n < −c
√
2n log log n } a lieu pour une infinit´ e d’indices.
D´ emonstration. — Elle d´ ecoule du Th´ eor` eme 3.2, puisque les variables
al´ eatoires S n sont sym´ etriques.
Les Th´ eor` emes 3.1, 3.2, 3.2
se r´ esument finalement en l’´ enonc´ e suivant.
Th´ eor` eme 3.3 (Loi du logarithme it´ er´ e, Khintchine, 1924). — Presque
sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log log n
= 1 et lim inf
n→∞
S n
√
2n log log n
= −1.
En d’autres termes, pour tout ε > 0, presque sˆ urement, la suite de
terme g´ en´ eral S n d´ epasse la valeur (1 + ε)
√
2n log log n au plus un nombre
fini de fois ; en revanche, presque sˆ urement, elle d´ epasse une infinit´ e de
fois la valeur (1 − ε)
√
2n log log n. De mˆ eme, presque sˆ urement, elle est
inf´ erieure ` a la valeur −(1 + ε)
√
2n log log n au plus un nombre fini de fois ; en
revanche, presque sˆ urement, elle est inf´ erieure une infinit´ e de fois ` a la valeur
−(1 − ε)
√
2n log log n.
Corollaire. — Avec une probabilit´ e ´ egale `
a 1, la suite (S n ) prend une
infinit´ e de fois toute valeur enti` ere.
Les recherches ult´ erieures essay` erent de s’affranchir de l’hypoth` ese classique que les variables al´ eatoires Y n suivaient la loi de Bernoulli de
param` etre
1
2 . Parmi les nombreux r´ esultats obtenus dans cette direction,
citons le r´ esultat suivant.