3. LA LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
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d’indices n et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e. Il suffit donc, en vertu du lemme de
Borel-Cantelli, de montrer que la s´ erie
P(B r ) est convergente. Or ceci est
r´ ealis´ e. Pour le voir, on applique le Lemme 1.4 (2) pour a = c
√
2n r log log n r :
P(B r ) ≤ 2e
−c
2 (n r /n r+1 ) log log n r = 2
1
log n r
c
2 (n r /n r+1 )
.
Or (n r /n r+1 ) ∼ (1/γ) > (1/c), d’o` u, pour r assez grand, n r /n r+1 > 1/c. On
aura donc, pour r assez grand,
P(B r ) ≤ 2
1
log n r
c ∼ 2
1
r log γ
c
.
Or, pour tout c > 1, la derni` ere expression est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie
convergente. Il en est de mˆ eme de P(B r ). Le th´ eor` eme en r´ esulte en vertu du
lemme de Borel-Cantelli.
Th´ eor` eme 3.2. — Pour tout c tel que 0 < c < 1, l’´ ev` enement
A n = {S n > c
√
2n log log n } a lieu pour une infinit´ e d’indices.
D´ emonstration. — Prenons 0 < c < 1 ; notons, de plus, γ un entier et η
un r´ eel tels que γ ≥ 2 et 0 < c < η < (γ − 1)/γ < 1. Posons, enfin, n r = γ
r
(r ≥ 1).
a) Si l’´ ev` enement A n r a lieu pour une infinit´ e d’indices r, alors
l’´ ev` enement A n a lieu pour une infinit´ e d’indices n.
b) Posons D r = S n r − S n r−1 =
n r
k=n r−1 +1
X k . Alors pour tout r ≥ 1,
les variables D r et S n r−1 sont ind´ ependantes ; de mˆ eme, les D r (r ≥ 1) sont
ind´ ependantes entre elles. On en d´ eduit, en posant
B r = {D r > η
2n r log log n r }, C r = {S n r−1 > −(η − c)
2n r log log n r },
l’inclusion B r ∩ C r ⊂ A n r .
c) Nous allons voir que, pour un choix judicieux de η, l’´ ev` enement
C r a lieu presque sˆ urement pour tout indice r, sauf peut-ˆ etre pour un
nombre fini d’entre eux. En effet, d’apr` es le Th´ eor` eme 3.1, l’´ ev` enement
E r = {
S n r−1
< 2
2n r−1 log log n r−1 } a lieu presque sˆ urement pour tout
indice r, sauf peut-ˆ etre pour un nombre fini d’entre eux.
Choisissons ` a pr´ esent η suffisamment proche de 1 pour que 1 − η <
((η − c)/r)
2 . Alors
4n r−1 = 4
n r
γ
< 4n r (1 − η) < n r (η − c)
2 ,
et l’on a :
E r = {
S n r−1
< 2
2n r−1 log log n r−1 }
⊂ {|S n r −1 | < (η − c)
2n r log log n r }
⊂ {S n r−1 > −(η − c)
2n r log log n r } = C r .
L’inclusion E r ⊂ C r fournit le r´ esultat
ER ´
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d’indices n et le th´ eor` eme est d´ emontr´ e. Il suffit donc, en vertu du lemme de
Borel-Cantelli, de montrer que la s´ erie
P(B r ) est convergente. Or ceci est
r´ ealis´ e. Pour le voir, on applique le Lemme 1.4 (2) pour a = c
√
2n r log log n r :
P(B r ) ≤ 2e
−c
2 (n r /n r+1 ) log log n r = 2
1
log n r
c
2 (n r /n r+1 )
.
Or (n r /n r+1 ) ∼ (1/γ) > (1/c), d’o` u, pour r assez grand, n r /n r+1 > 1/c. On
aura donc, pour r assez grand,
P(B r ) ≤ 2
1
log n r
c ∼ 2
1
r log γ
c
.
Or, pour tout c > 1, la derni` ere expression est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie
convergente. Il en est de mˆ eme de P(B r ). Le th´ eor` eme en r´ esulte en vertu du
lemme de Borel-Cantelli.
Th´ eor` eme 3.2. — Pour tout c tel que 0 < c < 1, l’´ ev` enement
A n = {S n > c
√
2n log log n } a lieu pour une infinit´ e d’indices.
D´ emonstration. — Prenons 0 < c < 1 ; notons, de plus, γ un entier et η
un r´ eel tels que γ ≥ 2 et 0 < c < η < (γ − 1)/γ < 1. Posons, enfin, n r = γ
r
(r ≥ 1).
a) Si l’´ ev` enement A n r a lieu pour une infinit´ e d’indices r, alors
l’´ ev` enement A n a lieu pour une infinit´ e d’indices n.
b) Posons D r = S n r − S n r−1 =
n r
k=n r−1 +1
X k . Alors pour tout r ≥ 1,
les variables D r et S n r−1 sont ind´ ependantes ; de mˆ eme, les D r (r ≥ 1) sont
ind´ ependantes entre elles. On en d´ eduit, en posant
B r = {D r > η
2n r log log n r }, C r = {S n r−1 > −(η − c)
2n r log log n r },
l’inclusion B r ∩ C r ⊂ A n r .
c) Nous allons voir que, pour un choix judicieux de η, l’´ ev` enement
C r a lieu presque sˆ urement pour tout indice r, sauf peut-ˆ etre pour un
nombre fini d’entre eux. En effet, d’apr` es le Th´ eor` eme 3.1, l’´ ev` enement
E r = {
S n r−1
< 2
2n r−1 log log n r−1 } a lieu presque sˆ urement pour tout
indice r, sauf peut-ˆ etre pour un nombre fini d’entre eux.
Choisissons ` a pr´ esent η suffisamment proche de 1 pour que 1 − η <
((η − c)/r)
2 . Alors
4n r−1 = 4
n r
γ
< 4n r (1 − η) < n r (η − c)
2 ,
et l’on a :
E r = {
S n r−1
< 2
2n r−1 log log n r−1 }
⊂ {|S n r −1 | < (η − c)
2n r log log n r }
⊂ {S n r−1 > −(η − c)
2n r log log n r } = C r .
L’inclusion E r ⊂ C r fournit le r´ esultat