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CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
2. R´ esultats interm´ ediaires
Th´ eor` eme 2.1 (loi forte des grands nombres, E. Borel, 1909). — Lorsque
n tend vers l’infini, on a : S n /n
p.s.
−→ 0, c’est-` a-dire S n = o(n) p.s.
D´ emonstration. — Dans le Lemme 1.2 (2), faisons a = nε. Alors pour
tout ε > 0, l’in´ egalit´ e P{ |S n /n| > ε} ≤ 2e
−(ε
2 /2)n est v´ erifi´ ee. Comme pour
tout ε > 0, le second membre est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente,
on a, toujours pour tout ε > 0 :
n≥1
P{ |S n /n| > ε} < ∞ ; ceci implique le
Th´ eor` eme 2.1.
En 1914, Hardy et Littlewood
1 ont montr´ e que S n = O(
√
n log n) p.s., un
r´ esultat qui a ´ et´ e affin´ e en 1922 par Steinhaus.
Th´ eor` eme 2.2 (Steinhaus, 1922). — Presque sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log n
≤ 1.
Ceci ´ equivaut `
a dire que pour tout c > 1, presque sˆ urement seul un nombre
fini parmi les ´ ev` enements E n = { |S n | > c
√
2n log n } peut se r´ ealiser.
D´ emonstration. — Appliquons le Lemme 1.2 (2) avec a = c
√
2n log n.
On obtient : P(E n ) ≤ 2e
−c
2 log n = 2n
−c
2 . Or, pour tout c > 1, ce dernier
membre est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente. Il en est de mˆ eme de
P(E n ) et le lemme de Borel-Cantelli permet de conclure.
3. La loi du logarithme it´ er´ e
2
Th´ eor` eme 3.1. — Presque sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log log n
≤ 1.
Ceci ´ equivaut `
a dire que pour tout c > 1, presque sˆ urement seul un nombre
fini parmi les ´ ev` enements A n = { |S n | > c
√
2n log log n } peut se r´ ealiser.
D´ emonstration. — Prenons c > 1 et un nombre γ tel que 1 < γ < c.
Pour r ≥ 1, d´ esignons par n r l’entier le plus proche de γ
r et introduisons
l’´ ev` enement
B r =
sup
n r
2n r log log n r
.
Il est clair que si l’´ ev` enement B r ne se r´ ealise que pour un nombre fini
d’indices r, alors l’´ ev` enement A n ne se r´ ealise que pour un nombre fini
1 Hardy (G.H.) and Littlewood (J.E.). — Some problems of Diophantine approximation,
Acta Math., vol. 37 (1914), p. 155–239.
2 Le pr´ esent paragraphe s’inspire de la pr´ esentation donn´ ee par Feller An Introduction to
Probability and its Applications, vol. 1. — Wiley, New York, , p. 192–195.
CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
2. R´ esultats interm´ ediaires
Th´ eor` eme 2.1 (loi forte des grands nombres, E. Borel, 1909). — Lorsque
n tend vers l’infini, on a : S n /n
p.s.
−→ 0, c’est-` a-dire S n = o(n) p.s.
D´ emonstration. — Dans le Lemme 1.2 (2), faisons a = nε. Alors pour
tout ε > 0, l’in´ egalit´ e P{ |S n /n| > ε} ≤ 2e
−(ε
2 /2)n est v´ erifi´ ee. Comme pour
tout ε > 0, le second membre est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente,
on a, toujours pour tout ε > 0 :
n≥1
P{ |S n /n| > ε} < ∞ ; ceci implique le
Th´ eor` eme 2.1.
En 1914, Hardy et Littlewood
1 ont montr´ e que S n = O(
√
n log n) p.s., un
r´ esultat qui a ´ et´ e affin´ e en 1922 par Steinhaus.
Th´ eor` eme 2.2 (Steinhaus, 1922). — Presque sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log n
≤ 1.
Ceci ´ equivaut `
a dire que pour tout c > 1, presque sˆ urement seul un nombre
fini parmi les ´ ev` enements E n = { |S n | > c
√
2n log n } peut se r´ ealiser.
D´ emonstration. — Appliquons le Lemme 1.2 (2) avec a = c
√
2n log n.
On obtient : P(E n ) ≤ 2e
−c
2 log n = 2n
−c
2 . Or, pour tout c > 1, ce dernier
membre est le terme g´ en´ eral d’une s´ erie convergente. Il en est de mˆ eme de
P(E n ) et le lemme de Borel-Cantelli permet de conclure.
3. La loi du logarithme it´ er´ e
2
Th´ eor` eme 3.1. — Presque sˆ urement, on a :
lim sup
n→∞
S n
√
2n log log n
≤ 1.
Ceci ´ equivaut `
a dire que pour tout c > 1, presque sˆ urement seul un nombre
fini parmi les ´ ev` enements A n = { |S n | > c
√
2n log log n } peut se r´ ealiser.
D´ emonstration. — Prenons c > 1 et un nombre γ tel que 1 < γ < c.
Pour r ≥ 1, d´ esignons par n r l’entier le plus proche de γ
r et introduisons
l’´ ev` enement
B r =
sup
n r
2n r log log n r
.
Il est clair que si l’´ ev` enement B r ne se r´ ealise que pour un nombre fini
d’indices r, alors l’´ ev` enement A n ne se r´ ealise que pour un nombre fini
1 Hardy (G.H.) and Littlewood (J.E.). — Some problems of Diophantine approximation,
Acta Math., vol. 37 (1914), p. 155–239.
2 Le pr´ esent paragraphe s’inspire de la pr´ esentation donn´ ee par Feller An Introduction to
Probability and its Applications, vol. 1. — Wiley, New York, , p. 192–195.