1. NOTATIONS ET LEMMES PR ´
ELIMINAIRES
253
Les ensembles A 0 , . . . , A n sont disjoints, leur r´ eunion est Ω, et l’on a :
1≤k≤n
A k =
sup
1≤k≤n
S k ≥ a
.
Pour tout u ≥ 0 on peut donc ´ ecrire :
(1.4)
E[e
uS n ] ≥
n
k=1
A k
e
uS n d P =
n
k=1
Ω
e
uS n I A k d P.
Pour tout k = 1, . . . , n, faisons la d´ ecomposition S n = S k + R k , o` u
R k = X k+1 + · · · + X n (pour k = n, on pose R n = 0). Il vient alors, pour
tout k = 1, . . . , n,
Ω
e
uS n I A k d P =
Ω
e
uS k I A k
e
uR k d P.
Or les deux variables al´ eatoires e
uS k I A k et e
uR k sont ind´ ependantes (la
premi` ere est une fonction de X 1 , . . . , X k , la seconde une fonction de X k+1 ,
. . . , X n ). On a donc
Ω
e
uS n I A k d P =
Ω
e
uS k I A k d P
Ω
e
uR k d P
≥ e
ua P(A k )
g(u)
n−k ,
d’o` u, puisque g(u) ≥ 1,
Ω
e
uS n I A k d P ≥ e
ua P(A k ).
On a alors, d’apr` es (1.4),
E[e
uS n ] ≥ e
ua
n
k=1
P(A k ) = e
ua P
1≤k≤n
A k
= e
ua P
sup
1≤k≤n
S k ≥ a
.
Lemme 1.4. — Pour tout a > 0 et pour tout n ≥ 1, on a :
P{ sup
1≤k≤n
S k > a} ≤ e
−a
2 /(2n) ;
(1.5)
P{ sup
1≤k≤n
|S k | > a} ≤ 2e
−a
2 /(2n) .
(1.6)
D´ emonstration. — En majorant le second membre de l’in´ egalit´ e (1.3)
du Lemme 1.3 comme dans la d´ emonstration du Lemme 1.2, on obtient
l’in´ egalit´ e (1.5). La variable al´ eatoire S n ´ etant sym´ etrique, on a, en outre,
P
inf
1≤k≤n
S k ≤ −a
≤ P
sup
1≤k≤n
S k ≥ a
;
d’o` u l’in´ egalit´ e (1.6).