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CHAPITRE 19 : LOI DU LOGARITHME IT ´
ER ´
E
Le r´ esultat en d´ ecoule, puisque pour tout k ≥ 0 on a l’in´ egalit´ e :
1
(2k)!
≤
1
2 k k!
.
Remarques. — Posons S
∗
n = S n /
√
n, g n (u) = g S ∗
n
(u) =
g(u/
√
n )
n . Il
r´ esulte du Lemme 1.1 que l’on a l’in´ egalit´ e
g n (u) ≤ e
u
2 /2 ,
pour tout u ∈ R. Or, d’apr` es le th´ eor` eme central limit ,
S
∗
n
L
−→ N (0, 1)
(n → ∞).
D’o` u, pour tout u ∈ R,
g n (u) → e
u
2 /2
(n → ∞).
On voit ainsi que g n (u) tend vers e
u
2 /2 par valeurs inf´ erieures.
Lemme 1.2. — Pour tout a > 0 et pour tout n ≥ 1, on a :
P{S n > a} ≤ e
−a
2 /(2n) ;
(1.1)
P{ |S n | > a} ≤ 2e
−a
2 /(2n) .
(1.2)
D´ emonstration. — Pour tout a > 0 et tout u > 0, les deux ´ ev` enements
{S n > a} et {e
uS n > e
ua
} sont ´ equivalents. D’apr` es l’in´ egalit´ e de Markov,
on peut ´ ecrire :
P{S n > a} ≤
E[e
uS n ]
e ua =
g(u)
n
e ua ,
d’o` u, d’apr` es le Lemme 1.1,
P{S n > a} ≤ e
(nu
2 /2)−ua .
Cette in´ egalit´ e est valable pour tout u > 0. Choisissons u > 0 de telle sorte
que le second membre soit minimum, c’est-` a-dire consid´ erons la valeur u 0 qui
annule la d´ eriv´ ee de l’exposant. On trouve u 0 = a/n et la valeur de l’exposant
devient −a
2 /(2n). Ceci entraˆ ıne l’in´ egalit´ e (1.1). La variable al´ eatoire S n
´ etant sym´ etrique, pour tout n ≥ 1, on a P{S n < −a} = P{S n > a}, ce qui
entraˆ ıne l’in´ egalit´ e (1.2).
Lemme 1.3. — Pour tout a > 0, tout n ≥ 1 et tout u ≥ 0, on a :
(1.3)
P
sup
1≤k≤n
S k ≥ a
≤
E[e
uS n ]
e ua .
D´ emonstration. — Introduisons les ensembles suivants :
A 0 = {S 1 < a 1 , . . . , S n < a},
A 1 = {S 1 ≥ a},
A k = {S 1 < a, . . . , S k−1 < a, S k ≥ a} (k = 2, . . . , n).